Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
946 kez görüntülendi

Kapali bir alt kumesi icerisinde kapali olan bir kumenin tum uzayda da kapali oldugunu gosteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (25.4k puan) tarafından  | 946 kez görüntülendi

Sorunuz "$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$(A\in\mathcal{K})(B\in\mathcal{K}_A)\Rightarrow B\in \mathcal{K}$$ önermesi doğru mudur?" sorusu ile aynı mı?

$\mathcal K$'lar kapali kumeleri iceren kumelerse evet.

Evet. $\mathcal{K}:=\{A\big{|}\backslash A\in \tau\}$

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Cevap evet. Şöyle ki:

$$\left.\begin{array}{rr}A\in\mathcal{K}\Rightarrow \mathcal{K}_A\subset \mathcal{K} \\ \\B\in \mathcal{K}_A \end{array}\right\}\Rightarrow B\in \mathcal{K}.$$

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Soruyu kabul ederek soru cozulmus olmuyor mu bu sekilde? Soru zaten $A \in \mathcal K \implies \mathcal K_A \subset \mathcal K$.

Sorunuz $$A\in \mathcal{K}\Rightarrow \mathcal{K}_A\subset \mathcal{K}$$ bu mu?

Soru ifadesi buna denk. ispatlamak icin her $A$-kapali kumenin $X$-kapali oldugunu gosterecez.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Indirgenmis topoloji kullanarak bi cevap yazayim. $A$ kumesi $X$ ust uzayinda kapali olsun. 

indirgenmis topolojinin tanimindan dolayi $C$ eger $A$ kumesinde kapali ise $C=D \cap A$ olacak sekilde $X$ uzayinda kapali bir $D$ kumesi vardir. Kapali kumelerin karaktere edilmesinden de iki kapali kumenin kesisimi kapalidir.

Kapali kumenin degisik (ama ozunde ayni olan) tanimlari da kullanililabilir. Limit noktalarinin icerisinde olmasi gerektigi kullanilabilir. Fakat soru indirgenmis topoloji sorusu gibi gozuktugunden bu ispat daha hos geldi bana. Zevkler ve renkler.

(25.4k puan) tarafından 
20,239 soru
21,758 cevap
73,398 yorum
2,061,929 kullanıcı