Topolojiyi belirleyen kume boskume olabilir mi?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
75 kez görüntülendi

$X \ne \emptyset$ olmak zorunda mi? Yani $X \ne \emptyset$ yazan kitap var. Ali Nesin'in kitabina baktim "$X$ bir kume olsun" diyor. wiki-proof'ta da $\{\emptyset\}$ toplulugunun/koleksiyonunun $\emptyset$ uzerinde topoloji belirttiginin ispati var.

Ikinci sorum: olmasi ya da olmamasi bir degisiklik olusturur mu?

10, Eylül, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,839 puan) tarafından  soruldu

Bazı yazarlar tanıma $X\neq\emptyset$, bazı yazarlar da $X$ bir küme olsun diyerek başlıyor. Bir önceki sorunda da yazdığım gibi tanımlara önceki bilgilerle çelişmediği sürece pek karışılmaz. Ben $X\neq\emptyset$ demeyi tercih ediyorum.

@murad.ozkoc Bu tercihin özel bir sebebi var mı?

@Sercan Boş kümeyi topolojik uzay olarak ele almazsan topolojik uzaylar kategorisinin sıfır nesnesi olmamış oluyor. Ki bu, özellikle cebir ile ilişkili kategorik denkliklerde istemediğin bir durum.

Kategori teori bilmiyorum, su an icin, ne yazik ki. Fakat tercihlerin neye gore tercih edildigini de merak ediyorum. Neden istemedigimiz durum olsun, ornek var mi aklinda hic? 

Matematikte yeni kavramlarla ilgili yapılan tanımlar daha önceki tanımlar, varsayımlar ve teoremlerle çelişmemeli ve uyum içinde olmalıdır. Özellikle de bunların ifadelerinde dakiklik ve kesinlik zorunluluğu vardır. Türkçe, İngilizce vs gibi ulusal diller matematiksel kesinliği bir ölçüde sağlayabilirse de, matematiksel kesinlik, hangi ulustan olursa olsunlar herkesin aynı şeyi (tam tamına ne eksik ne fazla) anlayabilmesini sağlayan "Matematiğin Evrensel Sembolik Dili" ile sağlanır. $$A\times A$$ kümesinin altkümesi olan $\alpha$'nın boş küme olması halinde işleme "$A$'da boş işlem" denir. $$\phi :\emptyset^2\rightarrow A$$ işlemi, kapalılık, birleşme, değişme vs gibi özellikleri sağlar. (Neden?) $$A=\emptyset$$ olması halinde de $$\phi :\emptyset^2\rightarrow\emptyset$$ işlemi söz konusu edilebilir. Bazı kaynaklar böyle bir kavramın gereksiz olacağı düşünülüp $$\alpha\neq\emptyset$$ ve $$A\neq\emptyset$$ kabul edilmektedir. Bu bir tanım meselesidir. Ancak bir $A$ kümesindeki $\phi$ işlemin de dahil edilmesi bazı sayma problemleri için "daha estetik" denilebilecek formülasyonları sağlamaktadır. Örnek olarak, $n$ elemanlı bir kümedeki tüm işlemlerin sayısı

$$\sum_{k=0}^{n^2}\dbinom{n^2}{k}n^k=(n+1)^{n^2}.$$

Tüm bu açıklamaların ışığı altında Özgür'ü destekleyecek bir ilave yapayım. Yukarıdaki açıklamalardan da anlaşılacağı üzere genel yaklaşımım boş kümenin de işlerin içine dahil edilmesinden yana. Ancak topoloji tanımı için bu yaklaşımı benimsememişim. Bunun nedenini daha çok George F. SIMMONS'un "Introduction to Topology and Modern Analysis" adlı kitabını temel kaynak olarak almış olmamdan kaynaklansa gerek diye düşünüyorum. Özgür'ün açıklamasının gayet makul bir açıklama olduğu kanaatindeyim.

...