(a) şıkkını ispatlabildim şöyle yapmiştım:
Ilk olarak tθ∈Reg(X,τ) yani τθ regüler uzay olduğunu gösterdim;
x∈X ve U∈θO(X,x) (θO(X,x):={U|x∈U∈τθ}) olsun
U∈θO(X,x)⇒x∈U=θ−int(U)⇒(∃V∈U(x))(cl(V)∈U)
Yani (X,τθ) Regülar uzaydır.
Ayrıca τθ⊆τ olur.
Demek ki tθ∈Reg(X,τ).
Şimdi σ∈Reg(X,τ) alalım σ⊆tθ olduğunu görelım. bunu için A∈σ ve x∈A olsun;
x∈A∈σ⇒A∈σO(X,x)(X,σ) regüler uzay }⇒(∃U∈σO(X,x))(cl(U)⊆A)σ⊆τ}⇒
⇒(∃B∈U(x))(cl(U)⊆A)⇒A∈τθ.
Demek ki σ⊆τθ .
Sonuç : τθ=maxReg(X,τ) olur.
(b) şıkını de doğru olduğunu düşünüyorum fakat kanıtlayamadım. 3 ve 4 elemanlı tüm topolojileri için bilgiyarımda kontrol ettırdım ve doğru olduğunu detekleniyor.