(a) şıkkını ispatlabildim şöyle yapmiştım:
Ilk olarak t_\theta \in Reg(X,\tau) yani \tau_\theta regüler uzay olduğunu gösterdim;
x\in X ve U\in \theta O(X,x) (\theta O(X,x) := \{U | x\in U \in \tau_\theta \} ) olsun
\begin{array}{rcl}
U\in \theta O(X,x) &\Rightarrow & x\in U = \theta-int(U) \\ &\Rightarrow &(\exists V\in \mathcal{U}(x)) (cl(V)\in U)
\end{array}
Yani (X,\tau_\theta ) Regülar uzaydır.
Ayrıca \tau_\theta \subseteq \tau olur.
Demek ki t_\theta \in Reg(X,\tau).
Şimdi \sigma \in Reg(X,\tau) alalım \sigma \subseteq t_\theta olduğunu görelım. bunu için A\in \sigma ve x\in A olsun;
\left.\begin{array}{r} x\in A\in \sigma \Rightarrow A\in \sigma O(X,x) \\ \\ (X,\sigma ) \text{ regüler uzay } \end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\! \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} (\exists U \in \sigma O(X,x) ) (cl(U) \subseteq A ) \\ \mbox{} \\ \sigma \subseteq \tau \end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\!\end{array}
\begin{array}{l}
\Rightarrow (\exists B\in U(x) ) (cl(U)\subseteq A ) \Rightarrow A \in \tau_\theta .
\end{array}
Demek ki \sigma \subseteq \tau_\theta .
Sonuç : \tau_\theta = maxReg(X,\tau ) olur.
(b) şıkını de doğru olduğunu düşünüyorum fakat kanıtlayamadım. 3 ve 4 elemanlı tüm topolojileri için bilgiyarımda kontrol ettırdım ve doğru olduğunu detekleniyor.