Processing math: 30%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
559 kez görüntülendi

Tanım:  (X,τ) topolojik uzay ve AX olsun.

θ-int(A):={U|(cl(U)A)(UO(X))}={x|(UU(x))(cl(U)A)},

 A, θ açık:⇔A=θ-int(A)  ve  τθ:={AX|A, θ açık }.

C(X):={AX|A, kapalı}

CO(X,τ):={AX|AτC(X)}

 

Soru: (X,τ) topolojik uzay ve (P(P(X)),) posetini ele alalım.

Reg(τ):={σ|(στ)((X,σ),regüler)} ailesi verilsin:

(a) ``\tau_\theta=\max Reg(\tau)" önermesi doğru mudur?

(b) ``\max Reg(\tau)=\tau ya da \max Reg(\tau)=CO(X,\tau)" önermesi doğru mudur?

 

Lisans Matematik kategorisinde (159 puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi | 559 kez görüntülendi
Sen bu soruda ne düşündün / denedin Faical Yacine Issaka?

(a) şıkkını ispatlabildim şöyle yapmiştım:

Ilk olarak t_\theta \in Reg(X,\tau) yani \tau_\theta regüler uzay olduğunu gösterdim;

x\in X ve U\in \theta O(X,x) (\theta O(X,x) := \{U | x\in U \in \tau_\theta \} ) olsun

 \begin{array}{rcl}    U\in \theta O(X,x) &\Rightarrow & x\in U = \theta-int(U)  \\ &\Rightarrow &(\exists V\in \mathcal{U}(x)) (cl(V)\in U)    \end{array}  

Yani  (X,\tau_\theta ) Regülar uzaydır.

Ayrıca \tau_\theta \subseteq \tau olur. 

Demek ki t_\theta \in Reg(X,\tau).

 

Şimdi \sigma \in Reg(X,\tau) alalım \sigma \subseteq t_\theta olduğunu görelım. bunu için A\in \sigma ve x\in A olsun;

\left.\begin{array}{r} x\in A\in \sigma \Rightarrow A\in \sigma O(X,x) \\ \\ (X,\sigma ) \text{ regüler uzay } \end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\! \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} (\exists U \in \sigma O(X,x) ) (cl(U) \subseteq A ) \\ \mbox{} \\ \sigma \subseteq \tau \end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\!\end{array}

\begin{array}{l}  \Rightarrow (\exists B\in U(x) ) (cl(U)\subseteq A ) \Rightarrow A \in \tau_\theta .   \end{array}
 
 Demek ki \sigma \subseteq \tau_\theta .

Sonuç : \tau_\theta = maxReg(X,\tau ) olur.
 

(b) şıkını de doğru olduğunu düşünüyorum fakat kanıtlayamadım.  3 ve 4 elemanlı tüm topolojileri için bilgiyarımda kontrol ettırdım ve doğru olduğunu detekleniyor.

20,299 soru
21,845 cevap
73,549 yorum
2,757,908 kullanıcı