kongrüanslar teorisi uygulaması...

Question

$p$ asal sayısı $n<p<2n$ ise $\left( \begin{matrix} 2n\\ n\end{matrix} \right) \equiv 0\left( \rho \right)$ olduğunu gösteriniz.

Comments

verilen yanitlar yanlis. Yanlis bir sey ogrenme.

---

Bir de asal sayi $p$, modu alinan sayi $\rho$, onu da degistirmek lazim.

---

Tesekkur ederim verilen cevaplar için :)

Answer 1

$p$ asal sayı olmak üzere $n<p<2n$ olsun.

$\left( \begin{array}{lcl} 2n\\n\\ \end{array} \right)$= $\frac{(2n)!}{(n!)(n!)}$=$\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)...(n+1)n!}{(n!)(n!)}$ = $\frac{(2n)!}{(n!)(n!)}$=$\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)...(n+1)}{(n!)}$ olur. 

$p$ asal sayısı $n$ ile $2n$ arasında ve $i$={1,2,...,n-1} olmak üzere uygun bir $i$ sayısı için $p$$\mid$(2n-i) olduğundan

$\left( \begin{array}{lcl} 2n\\n\\ \end{array} \right)$$\equiv$0$(p)$ dir.

Comments

Bu cevap da yukaridaki cevapla ayni nedenle yanlis.

---

Sadece eksik var $(n!,p)=1$ oldugu da kullanilmali.

---

O da yanlis yapiyor zaten ispati. Zira iddia dogru, arguman yanlis. 

Answer 2

N tane ardisik sayinin carpimi n! İle bölünür 

n ile 2n arasında $(n+1).(n+2)...(2n-1)$ ardısık sayı var ve bunlardan biri P dir$C(2n,n)=(2n)!/n!.n!$  İse sadeleşme yaparsak

$(n+1)...(2n)$=0mod(p)  n tane ardışık sayı o halde p asalı bu. n ardısk terimden biri içinde bu yüzdN ( modp) de 0 dır.

Comments

Bu cevap yanlis. $p$'nin asal oldugu kullanilmamis. Ayni ispat $2n=p=8$ icin de calisiyor ama $8$ sozu edilen kombinasyonu bolmuyor.

---

P asal sayısı  hangi aralıkta ve o aralıktaki sayıların ne olduğunu ifade eder misiniz ?

---

2n=p=8alamazsınız çünkü 2n=8 alsanız p dediğimiz asal 8 den küçük verilmiş soruda eşit olamaz

---

yanitta asal oldugu kullanilmiyor. 

---

soruda ne ifade edildiginin onemi yok. ispat, soyledigim durum icin de calisiyor. ama o durum icin iddia yanlis.

---

 Asal olduğu Kullanılıyor p asal sayısı o aralıktaki sayılardan biriisi değil mi  soruda zaten p nin asal olduğu verilmiş asal  olduğuna şüphe yok soru vermiş zaten peki  p asalı diyelim n+k olsn  (ksıfrdan farklı ) . n < n+k<2n  olduğu için 

$(n+1) .(n+2)...(n+k)...(2n) =x  mod(n+k)$ bunun cevabı x=0  mı yoksa  başka birşey mi 

---

Sadece eksik var $(n!,p)=1$ oldugu da kullanilmali. Cunku paydada iki adet $n!$ var.

Safak hocam da hakli bu konuda galiba. ornegin $\frac pp=1$. Burda yukarda $p$ var diye $0 \mod p$ denmez. Ayni zamanda paydada da $p$ olmadigi soylenmeli.

Burda su soru da akla gelebilir. Paydada $p$ olmasi sikinti olmaz mi? Zaten en son gelen sayinin $\mod p$ durumu soruluyor. Bu nedenle bir sikinti yok.

---

Soruda asal oldugu verilmis olabilir. Ispatta asal olmasi kullanilmiyor. Neyse, ispat yanlis. Dogrusunu yazdim yanit olarak.

---

Paydada n! Var ve p asalı n den büyük bir asal paydada p olamaz ki niçin sıkıntı olsun ve bizim asal sayı n! İn asal carpan larından büyük biliyoruz ki 10! İçinde 11 olamaz  şafak hocam neye yanlış diyorsunuz ben yanlış olduğunu düşünmüyorum eksik ifade olabilir  . Ve ben soruda asal sayı olduğunu kullanmasam gönül rahatlığı ile sonuca sıfır  demem 

Bizim asal sayı 10bin tane n! İn asal  çarpanlarından büyük  ve asal olması onun sadeleşememesine sebep bunu ifade etmemiş olabilirm ama  bu bariz açık olduğu için 

Answer 3

Once diger yanitlarin neden yanlis oldugunu ornek vererek aciklayayim. $p$ sayisinin $$\frac{(n+1)(n+2)\cdots (2n)}{n!}$$ sayisini boldugunu soylemek icin kullanilan arguman $p$ sayisinin $n+1,\cdots, 2n$ sayilarindan birisi olmasi. Bu tek basina yeterli degil. $p$'nin asal olmasi gerekli bunu garanti etmek icin. Zira $8$ sayisi $7,8,9,10,11,12$ sayilarindan birisi ama $$\frac{7\cdot 8\cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}$$ sayisini bolmuyor. 

Simdi de dogru ispati yapayim. $$A=\frac{(n+1)(n+2)\cdots (2n)}{n!}$$ diyelim. Amacimiz $p$ asalinin $A$ sayisini boldugunu gostermek. Her iki tarafi $n!$ ile carparak su esitligi elde ederiz: $$A\cdot n!=(n+1)(n+2)\cdots (2n)$$

1. Bu esitligin sag tarafini $p$ boluyor, cunku carpanlardan bir tanesi $p$. O halde esitligin sol tarafini da bolmeli. (Bu, yanlis ispatlarin kullandigi bilgi ama ornekte goruldugu gibi $p$'nin $A$'yi boldugu sonucunun cikartilabilmesi icin tek basina yeterli degil).
2. $p$ sayisi $n$'den buyuk oldugu icin $n!$'i de bolemez. Burada gorunmez bicimde $p$'nin asal sayi olmasini kullandik. Zira bu soyledigim iddia da, eger $p$ asal degilse yanlis. (Mesela $6$ sayisi $5$'ten buyuk ama $5!$'i boler.) Daha acik ifade etmek gerekirse, bu sonucu elde etmek icin asal sayilarin asagidaki ozelligini kullandik (asal olmayan sayilar bu ozelligi saglamaz)  $$\text{$p|xy\Rightarrow p|x$ ya da $p|y$}$$ Baska bir deyisle, asal bir sayi bolmedigi iki sayinin carpimini da bolmez. $p$ de kendisinden kucuk sayilari bolmedigi icin ve asal oldugu icin yukaridaki ozellikten dolayi bu sayilarin carpimini da bolmez.
3. Birinci kisim geregi $p$ sayisinin $n!\cdot A$ sayisini boldugunu biliyoruz. Ikinci kisim sayesinde de $p$'nin $n!$'i bolmedigini billiyoruz. Ama asal sayilar bolmedigi iki sayinin carpimini bolemez. O halde $p$ sayisi $A$ sayisini bolmek zorundir.

Comments

Benimki daha guzel. Kisa ve anlasilir, ek olarak $p$'nin asal oldugunu da kullaniyor.

---

Kisa oldugu konusunda sana katiliyorum.

Answer 4

$\frac{(2n)!}{n!n!}$'in tam sayi oldugu asikar, cunku $2n$ elemandan $n$ secim sayisina denk geliyor. $n<p<2n$ bir asal sayi olsun. $((2n)!,p)=p$ ve $(n!,p)=1$ o halde $p|C(2n,n)$.

Comments

Bence bu cozum sorunun yeniden yazimi gibi olmus :).. Boylece bir sorudaki butun yanitlara salca olmayi basardim.

---

Sadece basit bir arguman kullandim: $p$ asal bir sayi, $a,b,\frac ab$ tam sayi ve $p|a,(b,p)=1$ ise $p|\frac ab$.

---

Evet, ayni arguman. Birini bolmuyorsa carpimda otekini boler. Ama argumani gizlemek neden? Asal tanimini bilen herkes anlayabilsin isteyerek yazmayi yegliyorum. Bi de, seninkinin daha guzel olduguna da katilmiyorum. Eger az once anlasilmadiysa diye belirteyim dedim :)

---

http://matkafasi.com/6454/matematikte-guzellik-kavrami-midir-varsa-nasil-aciklanir?show=6454#q6454

Anladim lakin anlasam bile su var: kirpi yavrusunu pamugum diye severmis. 

Asal sayinin manasi bakimindan gercekten cok aciklayici olmus. O nedenle uzun olmasina ragmen hos olmus. 

---

Bu arada ben de hepsine salca olmusum.