Once diger yanitlarin neden yanlis oldugunu ornek vererek aciklayayim. $p$ sayisinin $$\frac{(n+1)(n+2)\cdots (2n)}{n!}$$ sayisini boldugunu soylemek icin kullanilan arguman $p$ sayisinin $n+1,\cdots, 2n$ sayilarindan birisi olmasi. Bu tek basina yeterli degil. $p$'nin asal olmasi gerekli bunu garanti etmek icin. Zira $8$ sayisi $7,8,9,10,11,12$ sayilarindan birisi ama $$\frac{7\cdot 8\cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}$$sayisini bolmuyor.
Simdi de dogru ispati yapayim. $$A=\frac{(n+1)(n+2)\cdots (2n)}{n!}$$diyelim. Amacimiz $p$ asalinin $A$ sayisini boldugunu gostermek. Her iki tarafi $n!$ ile carparak su esitligi elde ederiz:$$A\cdot n!=(n+1)(n+2)\cdots (2n)$$
-
Bu esitligin sag tarafini $p$ boluyor, cunku carpanlardan bir tanesi $p$. O halde esitligin sol tarafini da bolmeli. (Bu, yanlis ispatlarin kullandigi bilgi ama ornekte goruldugu gibi $p$'nin $A$'yi boldugu sonucunun cikartilabilmesi icin tek basina yeterli degil).
-
$p$ sayisi $n$'den buyuk oldugu icin $n!$'i de bolemez. Burada gorunmez bicimde $p$'nin asal sayi olmasini kullandik. Zira bu soyledigim iddia da, eger $p$ asal degilse yanlis. (Mesela $6$ sayisi $5$'ten buyuk ama $5!$'i boler.) Daha acik ifade etmek gerekirse, bu sonucu elde etmek icin asal sayilarin asagidaki ozelligini kullandik (asal olmayan sayilar bu ozelligi saglamaz) $$\text{$p|xy\Rightarrow p|x$ ya da $p|y$}$$Baska bir deyisle, asal bir sayi bolmedigi iki sayinin carpimini da bolmez. $p$ de kendisinden kucuk sayilari bolmedigi icin ve asal oldugu icin yukaridaki ozellikten dolayi bu sayilarin carpimini da bolmez.
-
Birinci kisim geregi $p$ sayisinin $n!\cdot A$ sayisini boldugunu biliyoruz. Ikinci kisim sayesinde de $p$'nin $n!$'i bolmedigini billiyoruz. Ama asal sayilar bolmedigi iki sayinin carpimini bolemez. O halde $p$ sayisi $A$ sayisini bolmek zorundir.