Kongrüanslar teorisi üzerine uygulama...

Question

$a$ tam sayısı $2$ veya $3$ sayıları ile bölünmüyorsa $a^4\equiv 1 (24)$ olur. Gösteriniz.

Answer 1

$a$ tam sayısı 2 veya 3 e bölünmüyorsa

$a$=$2.k_1+1$=$3.k_2+r$ olacak şekilde sıfırdan farklı $k_1,k_2$  tamsayıları ve r=1 veya r=2 tamsayısı vardır.

$=>$ $a=2.k_1+1$ için;

$a^4-1$=$(a^2-1)(a^2+1)$=$(a^2-1)((a-1)^2+2a)$=$((2.k_1+1)^2-1)((2.k_1+1-1)^2+2.a)$=$(4.(k_1)^2+4.k_1)(4.(k_1)^2+4.k_1+2)$=$4.((k_1)^2+k_1).2.(2.(k_1)^2+2.k_1+1)$=$8.t$

$=>$ $a=3.k_2+r$ için;

$a^4-1$=$(a^2-1)(a^2+1)$=$((3.k_2+r)^2-1)((3.k_2+r)^2+1)$=$(9.(k_2)^2+6.k_2.r+r^2-1)(9.(k_2)^2+6.k_2.r+r^2+1)$=3.h   çünkü r sayısı 1 veya 2 değerini alabiliyordu. yerine yazınca $a^4-1$=3.h şeklinde olduğu görülebilir.

$a^4-1$=8.t=3.h  ise $24$$\mid$$(a^4-1)$ o halde $a^4$$\equiv$1$(24)$ olur.

Comments

Güzel bir çözüm.Tebrikler

Answer 2

(a,2)=1 (a,3)=1

$a^{4}=1mod(2^{3})   ,a^{4}=1mod(3)$ bunlari göstermeliz 

 aile 2 aralarında asal Euler teoremi kullanırsak

$Q(2^{3}-2^{2})$=4 o halde $2^{Q(p^{k})}=1mod(p^{k})$

1. Yi gösterdik 

2. Yide Q(3)=3-1=2

$a^{2}=1mod(3)$ buda gösterildi