Asagıdaki Yontem Sonsuz Boyutlu Bir Vektor Uzayının Tabanının Varlığını Kanıtlar mı

Question

$Teorem:$ $V$ sonsuz boyutlu bir vektör uzayı olsun. $V$ nin tabanı vardır.

$Kanıt:$ Şu prosedürleri uygulayalım:

$1)$ $v_1, v_2 , . . . v_n$ $\in V$ alalım. Bu elemanlar lineer bağımsızsa $\{v_1,  . . . , v_n\} = V_1$ olsun.

$2)$ Değilse $\{v_1,  . . . , v_n\}$'in bir maksimal lineer bağımsız alt kümesini alalım(sonlu bir küme olduğu için, elle de bulunabilir.) Bu kümeye $m<n$ için $\{v_1,  . . . , v_m\} = V_1$ diyelim.

$3)$ Şimdi başka $v_1^{'} , . . . , v_n^{'} \in V$ alalım ve yine aynı şekilde $\{v_1^{'} , . . . , v_n^{'}\}$ kümesinin maksimal lineer bağımsız alt kümesi $\{v_1^{'} , . . . , v_k^{'}\}$ olsun.

$4)$ $\{v_1,  . . . , v_m\} \cup \{v_1^{'} , . . . , v_k^{'}\}$ kümesinin $V_1$'i içeren bir maksimal lineer bağımsız alt kümesine $V_2$ diyelim ve bu prosedüre devam edelim.

Şimdi, $V_1 \subset V_2 \subset . . . \subset V_n \subset . . . $ olduğunu gözlemlemek zor değil. Artık elimizde kısmi sıralı bir zincir var var. Bu zincire $C$ zinciri diyelim ( Chain'in C'si Cagan'ın değil! :) ). Amacımın ne olduğunu anlamışsınızdır, Zorn Lemma yapacağım.  

                                                           $\bigcup_{i=1}^{\infty} V_i$

kümesinin yine bu zincirin elemanı olduğunu göstermem lazım ancak başaramadım. 

        Burada yardıma ihtiyacım var. Aslında Zorn Lemma yı tam anladığımdan da emin değilim, burada nasıl kullabilirim?

        Eğer yöntem hiç çalışmayacaksa, başka neler yapabilirim? Amacım her vektör uzayının tabanı olduğunu kanıtlamaktı.

 

Comments

Bu kümenin lineer bağımsız olduğunu göstermek istiyorsun, dimi? Sonsuz bir kümenin bağımsız olduğunu göstermek için, her sonlu alt kümesinin bağımsız olduğunu göstermek gerekir. Sonlu bir altküme al. Yani sonlu sayıda eleman seç bu birleşim içerisinden. Seçtiğin eleman sayısı sonlu olduğu için, hepsi birden bir $V_i$'nin içinde yer almalı. Sonrasını getirebilir misin?

Peki bu birlesimin lineer bağımsızlığı, taban olduğunu nasıl gösterecek?

---

Tabii, her $V_i$ de lineer bağımsız olduğundan bu sonlu eleman lineer bağımsızdır. Demek ki her sonlu alt küme lineer bağımsızdır. Demek ki $\bigcup_{i=1}^{\infty} V_i$ de lineer bağımsızdır. Ufak bir soru: Bu sonsuz bir kümenin lineer bağımsızlığının tanımı mı? Yoksa bir teorem mi?

Aslında taban olması için elimden geleni yaptım ama evet, yine de taban olduğunu gösteririz? $V$'nin her sonlu boyutlu altuzayının bu kümedeki elemanlar tarafından üretildiğini göstersek?

Bir soru daha var kafama takılan, başlarken $V$ sonsuz boyutlu olsun diye başlıyoruz. Boyut, tabandaki eleman sayısı demek. Taban var ki kaç elemanlı olduğundan söz edebiliyoruz. Bu zaten tabanın olduğunu göstermez mi?

---

Ufak bir soruna cevap: tanım.

Son soruna cevap olarak da: Evet, Haklısın. Ama sonsuz boyutlu vektör uzayı demek yerine, sonlu boyutlu olmayan vektör uzayı diye başlarsan sıkıntı olmaz. Ama bunu yapmana da gerek yok. Kanıtını bütün vektör uzayları için geçerli olacak şekilde yapabilirsin.

Öncelikle algoritmanın biraz yavaş olduğunu görmen lazım. Üçüncü adımda algoritman tekrar en başa dönüp bütün V içerisindeki elemanlara bakıyor. $v'$'ları böyle seçmek yerine, zaten ikinci aşamada elinde olan lineer bağımsız vektörlerin gerdigi uzayın dışından birer birer seçsene? Böylelikle dördüncü adımda elde ettiğin birleşim otomatik olarak lineer bağımsız olur. Eğer bu seçimi yapamıyorsan bir süre sonra, demek ki bütün uzayı germiş elindekiler. Eğer bütün uzay gerilmemisse, dışarıda kalan bir eleman var demektir, o elemanı atarsın ve böylece devam edersin.

Mantıklı mı?

---

Bu sayede her sonlu boyutlu alt uzayın bu birleşim kümesi tarafından üretildiği de bariz olur. Çok teşekkürler, Zorn Lemma kullanmadan yapılabilmesine şaşırdım.

---

Ben de şaşırdım. Bir yerde kullanıyor olmamız lazım.

---

$V_{1}$ kümesini doğrusal bağımsız maksimal seçtikten sonra bu kümenin gerdiği uzayın dışından bir vektör alıp o vektör ile $V_{1}$'in birleşiminden oluşan küme yine doğrusal bağımsız olur. Bu durumda ise sizin maksimal seçim durumunuz ile çelişir. 

---

Daha doğrusu $V_{1}$'i kapsayanlar icin bir maksimal buluyorsunuz. Peki bu maksimal doğrusal bağımsız küme $V$ icin maksimal doğrusal bağımsız küme midir? Bunu nasil garanti edebilirsiniz? 

---

Ama $V_1$'i $V$'de maksimal lineer bağımsız olacak şekilde seçmedik ki. Seçtiğimiz $n$ elemanlı küme içinden maksimal lineer bağımsız seçtik, dolayısıyla birleşimin lineer bağımsız olması çelişki yaratmaz.

Aynı şekilde $V_2$'yi de $V$ de maksimal seçmedik. Ama o dorduncu adimdaki birleşim kümesinin $V_1$'i içeren bir maksimal lineer bağımsız alt kümesi olması gerektiğini biliyoruz. 

Bu şekilde biraz uzuyor yine de, aşağıdaki cevapta Ozgur'un dediği gibi yazdım, daha net oldu.

---

Aşağıdaki cevaptaki sorun şuydu: Bir tabana sahip olduğumuzu söylemek istiyoruz. Bunun için algoritmamızın bir noktada durduğunu söylememiz lazım. Bunu bize veren de Zorn onsavi.

---

Anladim ama algoritma bir yerde duruyor olsa zaten elimizde sonlu tane $V_j$ Olmaz mi?

Answer 1

Yaptıklarımızı toparlayıp cevap olarak yazayım :

Tabanı bulmak için bir algoritma yaptık.   Şöyle : $V$ bir vektör uzayı olsun.

$1)$ $v_1 , . . . , v_n \in V$ alalım. Bu elemanlardan oluşan kümenin maksimal lineer bağımsız altkümesine $\{v_1 , .  . . , v_m\} = V_1$ diyelim.

$2)$ $V_1$'in ürettiği altuzayın dışından bir eleman alıp bu kümeye ekleyelim ve bu kümeye $V_2$ diyelim, yani diyelim $v_i \in V$,  

                                                 $<v_1 , .  . . , v_m>$ = $<V_1>$

'de değil. O zaman $\{v_1 , .  . . , v_m, v_i\} = V_2$ olsun.

        Eğer bir süre sonra dışardan eleman seçemiyorsak zaten tabanı bulmuşuzdur. Seçebiliyorsak, devam edelim. 

        Şimdi elimizde $ V_1 \subset V_2 \subset . . . \subset V_n \subset . . . $ olacak şekilde bir kümeler zinciri var.

        $İddia:$ $V$ sonlu boyutlu olmayan bir vektör uzayı olsun.  

                                                           $\bigcup_{i=1}^{\infty} V_i$ 

kümesi, $V$'nin bir bazıdır. 

        $Kanıt:$ Önce bu kümenin lineer bağımsız olduğunu göstermemiz lazım. Yani her sonlu altkümesinin lineer bağımsız olduğunu göstermemiz lazım. 

        Ama tabii ki, $v_1 , . . . v_i \in \bigcup_{i=1}^{\infty} V_i$ ise, bir $j$ için, $v_1 , . . . v_i \in V_j$ olmalı. Çünkü yoksa bu elemanlardan biri diğerlerinden lineer bağımsız olurdu ama bu da elemanları seçme yöntemimizle çelişir. Her $V_j$ de lineer bağımsız olduğundan yapacak bir şey kalmadı.

        Şimdi her $V$'nin her sonlu boyutlu altuzayının bu kümenin elemanları tarafından üretildiğini göstermemiz gerek. Bu da zaten $V_j$'leri seçme yöntemimiz gereği $a priori$ doğru.

        Demek ki $\bigcup_{i=1}^{\infty} V_i$ kümesi $V$'nin bir tabanıymış. 

        Demek ki her vektör uzayının bir tabanı vardır.

                                                                                                                            $\square$

        

        Dipnot: Yukarıda da belirttiğim gibi Zorn Lemma kullanmadan yapılması oldukça şaşırtıcı.

Comments

Benim içim rahat etmiyor, sanki bir yerde yanlışımız var. Zorn Lemma ya da seçim onsavi kullanmadan kanıtlayamıyor olmamız lazım.

---

Acaba, 

bu birleşim kümesi zincirin bir elemanı mı? Eğer bu öyleyse her elemandan büyük bir eleman olduğunu gösterir ve Zorn Lemma kullanmamız gerekebilir mi?

Ama kanıtımızdaki hatayı hala bulamadım.

---

Yukarıdaki kanıt hatalı.

Özgür, $V_n$'lerin inşasında, önceki oluşturulan $V_k$'ların gerdiği uzayın dışında kalan bir eleman seçerken zaten seçim beliti kullanıyoruz (daha spesifik olmak gerekirse yukarıdaki inşa için ACC yeterli).

Öte yandan kanıttaki hata bundan kaynaklı değil. Hata a priori olarak doğru olduğu iddia edilen yerde. $V$'nin her elemanı $V_n$'lerin birleşiminden bir doğrusal kombinasyon olarak yazılabilmek zorunda değil.

Bunu görmek için en basitinden şu örneğe bakılabilir: $V= \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ olsun. İnşada $v_i=(0,e_i)$ olarak seçtiğimizi varsayalım (burada $e_i$ dediğim vektör $i$. bileşeni $1$ diğer bileşenleri $0$ olan  $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ vektörü). $v_i$'leri bu şekilde seçmeye devam edersek hiçbir zaman $(1,(0,0,0,..))$ vektörü seçtiğimiz $v_i$'lerin gerdiği uzayda kalmayacaktır. Buradan a priori olarak doğru olduğu söylenen şeyin doğru olmadığı görülebilir.

Yukarıdaki kanıt sonsuz boyutlu her vektör uzayının kardinalitesinin $\aleph_0$ olduğunu kanıtlamaya çalışıyor, ki bu doğru değil.

Öte yandan bu kanıtı tamir etmek zor değil. Bu şekilde $V_i$'ler seçip $V_{\omega}=\bigcup V_i$ olarak tanımladıktan sonra gerilen uzayın dışında eleman kaldıysa benzer şekilde eleman seçmeye devam edebiliriz. Sonluötesi tümevarım kullanarak her adımda, eğer önceki seçilen elemanların gerdiği uzay dışında eleman kalmışsa, bir eleman seçerek bir baz oluşturmak mümkün. Seçim belitinin kullanıldığı nokta ise her adımda dışarıdan bir eleman seçme aşaması.

---

Sağol Burak. 

Seçim belitini nasıl kullandığımızı biraz açar mısın? "Gerilen uzay tüm uzaya eşit değilse, iki kümenin farkı boş değildir. Dolayısıyla seçebileceğim bir $x$ elemanı vardır." diyemez miyim? Burada seçim beliti kullanıyor muyum?

Sondan bir önceki paragrafta söylediğin şeyi ben de farketmiştim, sonluötesi tümevarım yapıyordum zaten kafamda bir şekilde. Orayı anladım. Örneği de anladım. Tamiri de anladım. 

---

Buradan, sonsuz boyutlu bir vektor uzayinin tabaninin 'bulunamayacagi' da cikiyor mu? Yoksa tabani bulmus oluyor muyuz?

---

Özgür, şöyle düşünelim. $V_1$ tüm uzaya eşit değilse, $V-V_1$ boş olmayan bir küme olduğu için buradan bir eleman seçebiliriz, bunun için seçim belitine ihtiyaç yok. Öte yandan $V_{n+1}-V_n$'lerin hepsinden aynı anda bir eleman seçebilmek için seçim belitine ihtiyacımız var. Bunu şunla karşılaştırabilirsin. Seçim belitinin denk ifadelerinden bir tanesi $\{A_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$ hiçbiri boş olmayan bir kümeler ailesi ise $\prod_{\alpha \in I} A_{\alpha}$ boş değildir der. Bizim de her adımda dışarıdan eleman seçerek oluşturduğumuz $(v_1,v_2,v_3,...)$ dizisinin var olduğunu kanıtlamak için bir miktar seçim belitine ihtiyacımız var.

Şu an çok vaktim olmadığı için StackExchange'den link vereceğim. Şuradaki soruyu ve verilen cevapları okumak faydalı olabilir (http://math.stackexchange.com/questions/132717/axiom-of-choice-and-finite-sets).

Çağan, sonsuz boyutlu bir uzayın tabanı açık açık bulunabilir de bulunmayabilir de, bu tamamen uzaya bağlı. Mesela $\oplus_{n \in \omega} \mathbb{R}$ uzayı için sonsuz elemanlı bir baz yazmak sorun değil. Öte yandan aynı şeyi $\prod_{n \in \omega} \mathbb{R}$ için söylemek pek kolay değil.

Genel olarak her vektör uzayının bir tabana sahip olduğunu söylemek istiyorsan seçim belitine ihtiyacı var. Hatta bu önerme seçim belitine (ZF üzerinde) denk. (Seçim belitiyle her vektör uzayının bir bazı olduğu Zorn önsavı ya da seninkine benzer bir sonluötesi tümevarımla kanıtlanabilir. Tersinin doğru olduğu da şu makalede kanıtlanmıştır: http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf)