Yaptıklarımızı toparlayıp cevap olarak yazayım :
Tabanı bulmak için bir algoritma yaptık. Şöyle : V bir vektör uzayı olsun.
1) v1,...,vn∈V alalım. Bu elemanlardan oluşan kümenin maksimal lineer bağımsız altkümesine {v1,...,vm}=V1 diyelim.
2) V1'in ürettiği altuzayın dışından bir eleman alıp bu kümeye ekleyelim ve bu kümeye V2 diyelim, yani diyelim vi∈V,
<v1,...,vm> = <V1>
'de değil. O zaman {v1,...,vm,vi}=V2 olsun.
Eğer bir süre sonra dışardan eleman seçemiyorsak zaten tabanı bulmuşuzdur. Seçebiliyorsak, devam edelim.
Şimdi elimizde V1⊂V2⊂...⊂Vn⊂... olacak şekilde bir kümeler zinciri var.
İddia: V sonlu boyutlu olmayan bir vektör uzayı olsun.
⋃∞i=1Vi
kümesi, V'nin bir bazıdır.
Kanıt: Önce bu kümenin lineer bağımsız olduğunu göstermemiz lazım. Yani her sonlu altkümesinin lineer bağımsız olduğunu göstermemiz lazım.
Ama tabii ki, v1,...vi∈⋃∞i=1Vi ise, bir j için, v1,...vi∈Vj olmalı. Çünkü yoksa bu elemanlardan biri diğerlerinden lineer bağımsız olurdu ama bu da elemanları seçme yöntemimizle çelişir. Her Vj de lineer bağımsız olduğundan yapacak bir şey kalmadı.
Şimdi her V'nin her sonlu boyutlu altuzayının bu kümenin elemanları tarafından üretildiğini göstermemiz gerek. Bu da zaten Vj'leri seçme yöntemimiz gereği apriori doğru.
Demek ki ⋃∞i=1Vi kümesi V'nin bir tabanıymış.
Demek ki her vektör uzayının bir tabanı vardır.
◻
Dipnot: Yukarıda da belirttiğim gibi Zorn Lemma kullanmadan yapılması oldukça şaşırtıcı.