Question

$f\left( x\right) =\dfrac {f\left( x+h\right) } {f\left( h\right) }$, $ \lim_{h\to0}g(h)=3$ ve $f(x)=1+x(g(x))$,

$y=f(x)$ fonksiyonunun türevi ?

Comments

Yeşil renkli sorunun uygun yerlerine de virgül ya da boşluklar koyar mısınız?

---

ayırdım hocam        

---

Şimdi daha güzel ve anlaşılır oldu.

Answer 1

$f(x)=\frac{f(x+h)}{f(h)}\Rightarrow f(x).f(h)=f(x+h).......(1)$ olur. Öte yandan türev tanımından,

$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)$ dir.  $(1)$ burada kullanılırsa,

$f'(x)= \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x)f(h)-f(x)}{h}=f(x)\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h}..........(2)$ bulunur.

Diğer taraftan $f(x)=1+x.g(x)\Rightarrow f(h)=1+h.g(h)\Rightarrow \frac{f(h)-1}{h}=g(h)$ olur. Bu son ifadenin limitini alırsak $\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h)-1}{h}=\lim\limits_{h\to0}g(h)=3$ olduğundan bu sonuç $(2)$'de kullanılırsa $f'(x)=3f(x)$ olur.