Her küme üzerinde bir iyi sıralama bağıntısı olduğu ZFC kümeler kuramının bir belitidir (daha doğrusu seçim belitine denktir ve seçim beliti bazen bu şekilde ifade edilir). Ancak doğal sayılar yapısındaki standart sıralamanın bir iyi sıralama olduğu bir belit değildir. Öte yandan kanıtlaması çok zor da değildir.
Tabii önce doğal sayıların inşasını ve iyi sıralama olduğunu kanıtlayacağımız sıralama bağıntısının tanımını yapmamız gerekiyor. Doğal sayıları inşa etmenin birden çok yolu olsa da en popüler inşa sanıyorum ki von Neumann ordinalleri üzerinden yapılan aşağıdaki inşadır:
$S: x \mapsto x \cup \{x\}$ ardıl alma operasyonunu belirtmek üzere $\emptyset \in X \wedge \forall x \in X\ S(x) \in X$ özelliğini sağlayan her $X$ kümesine bir tümevarımsal küme diyelim.
Sonsuzluk beliti gereği en az bir tümevarımsal küme vardır. Bir $X$ tümevarımsal kümesi seçip $X$'in her tümevarımsal kümenin elemanı olan elemanlarından oluşan alt kümesine $\mathbb{N}$ diyelim. Kısaca $\mathbb{N}$ tüm tümevarımsal kümelerin kesişimidir.
$\mathbb{N}$'nin elemanlarını "bildiğimiz rakamlarla" göstermek istiyorsak
$0=\emptyset$
$1=S(0)=\{0\}=\{\emptyset\}$
$2=S(1)=\{0,1\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$
$3=S(2)=\{0,1,2\}=\{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$
... ve genel olarak $n+1=S(n)=n \cup \{n\}=\{0,1,2,...,n\}$ olacaktır.
Yukarıdaki inşanın bir sonucu olarak doğal sayılar kümesinin tümevarım ilkesini sağladığını yani $\forall X \subseteq \mathbb{N}\ ((0 \in X \wedge \forall x \in X\ S(x) \in X) \rightarrow X=\mathbb{N})$ olduğunu kolayca kanıtlayabilirsiniz.
Tümevarım kullanılarak $\mathbb{N}$ kümesinin her elemanının geçişken ve $\in$ bağıntısı tarafından iyi sıralanan kümeler olduğu kolayca kanıtlanabilir. Başka bir deyişle, $\mathbb{N}$ kümesinin her elemanı bir
ordinal sayıdır. $\mathbb{N}$'nin bu özellikleri sağlayan elemanları kümesi $X$ olsun. $X$'in tümevarımsal olduğunu göstermeniz yeterli.
$\mathbb{N}$ üzerinde $x < y \leftrightarrow x \in y$ bağıntısını tanımlayalım, ki bu sıralama doğal sayılar üzerindeki bildiğimiz sıralamadır. $<$ bağıntısının $\mathbb{N}$ kümesi üzerinde (strict) bir doğrusal sıralama olduğu bir üstteki paragraftaki iddialardan ve temellendirme belitinden çıkıyor.
Şimdi boş olmayan bir $A \subseteq \mathbb{N}$ kümesi alalım. $A$'nın bir $\in$-minimal elemanı olduğunu kanıtlamak istiyoruz. Bir $n \in A$ elemanı seçelim. Eğer $n$ sayısı $A$ kümesinin $\in$-minimal elemanıysa kanıtlayacak bir şey yok. Eğer $n$ sayısı $A$ kümesinin $\in$-minimal elemanı değilse $n \cap A$ kümesi boş değildir. Öte yandan $n \cap A \subseteq n$ olduğu için ve $n$ kümesi $\in$ bağıntısı altında iyi sıralı olduğu için $n \cap A$'nın bir $\in$-minimal elemanı vardır, bu elemana $m$ diyelim. Bu durumda $m$ sayısı $A$'nın $\in$-minimal elemanı olacaktır. Yani $\mathbb{N}$ kümesi $\in$ altında iyi sıralı bir kümedir ve kendisi de bir ordinal sayıdır.
Bu kanıtın dayandığı ana noktalardan bir tanesi her $m,n \in \mathbb{N}$ için ya $m=n$, ya $m \in n$ ya da $n \in m$ olduğudur, ki bu da $\mathbb{N}$'nin elemanları ordinal sayılar olan bir küme olduğunun kanıtlanmasından sonra kolayca çıkıyor. Zira bu "trichotomy" verilen herhangi iki ordinal sayı için doğrudur.