Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

İyi sıralama ilkesinin doğal sayıların Peano aksiyomları ile inşasındaki 5. aksiyom olan tümevarım aksiyomuna denk olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (10.5k puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Verilen bir $P(n)$ önermesi için tümevarım yöntemi genellikle iki yol ile kullanılıyor : 

1. Yol : İlk adımda iddianın $n=0$ (veya bazı durumlarda $n=1$) için olduğunu göster (yani $P(0)$'ı göster), ikinci adımda iddianın $n=k$ için doğru olduğu varsayımı altında $n=k+1$ için doğru olduğunu göster (yani her $k$ için $P(k)\Rightarrow P(k+1)$ olduğunu göster). Bu iddianın bütün doğal sayılar için doğru olduğunu gösteriyor (yani her $n$ için $P(n)$).

2. Yol : Genellikle güçlü tümevarım olarak adlandırılan bu yöntemde de önce $P(0)$ daha sonra da eğer $n$'den küçük tüm $k$ doğal sayıları için $P(k)$ ise $P(n)$ olduğunu göster. Sanırım bu yöntemin kullanıldığı en bariz örnek aritmetiğin temel teoreminin kanıtı. 

Fakat bir de 3. yol var : Öncelikle $P(0)$ (veya $P(1)$ önermesini gösterelim. Daha sonra çelişki yoluyla kanıt denemek. İddianın bazı doğal sayılar için doğru olmadığını kabul edelim. $n$ sayısı iddianın doğru olmadığı en küçük sayı olsun ($P(0)$'ı zaten gösterdiğimiz için $n\geq 1$). O zaman $n$'den küçük tüm $k$ doğal sayıları için $P(k)$ olduğunu biliyoruz. Yani 2. yöntemin durumundayız. Çelişki elde edebilirsek, iddianın tüm doğal sayılar için doğru olduğunu gösterebiliriz. Bu yöntem genellikle sonlu gruplar teorisinde kullanılıyor. Örneğin çeşitli şartları sağlamayan bir grup olmadığını kanıtlamak istiyoruz. Diyelim ki şartları sağlamayan bir grup var. Öyleyse şartları sağlamayan en küçük mertebeli grubu seçelim. O zaman bu grubun bütün altgrupları bu şartları sağlamak zorunda. Daha sonra buradan bir çelişki elde edilir.

Temelde bu 3 yol tümevarım aksiyomundan başka bir şey değil, hepsi birbirine denk. Sadece farklı yöntemler kullanılıyor.

Dikkat edilirse 3. yolda gizli bir varsayım var : Eğer bir iddiayı sağlamayan bazı doğal sayılar varsa, bu iddiayı sağlamayan en küçük doğal sayının olduğu varsayılıyor. Fakat bu doğal sayılardaki iyi sıralama ilkesinden başka bir şey değil!

(325 puan) tarafından 
19,468 soru
21,188 cevap
71,118 yorum
27,172 kullanıcı