Her $n \geq 3$ için $3^n >2^n + 2n^2$ olduğunu tümevarım ile ispatlayınız

Question

Her $n \geq 3$ tam sayısı için $3^n >2^n + 2n^2$ olduğunu tümevarım ile ispatlayınız.

Answer 1

$n\geq5$ icin $2^n+2\times2^n>2^n+2n^2$  oldugundan, problem $3^n>2^n+2\times2^n$ oldugunu gostermeye esdeger. Bu da $3^{n-1}>2^n$ in dogoru oldugunu gostermeye esdeger. Bunu gostermek ise kolay.

 $1)\, n=5$ icin dogru.

$2)\, n=k$ icin dogru olsun. Yani $3^{k-1}>2^k$ olsun

$3)\, 3^{k}>2^{k+1}$ oldugunu gosterelim..

$3^{k-1}>2^k\implies 3^k>3\times2^k\implies 3^k>3\times2^k>2^{k+1}\implies$ $3^{k}>2^{k+1}$  olur.

 

$ 3\times2^k>2^{k+1}$ oldugunu gormek kolay, $3>2, \forall k$ dir cunku..