Gercel sayilari iyi siraladigimizda rasyonel ve irrasyonel sayilarin dizilimi

Question

Bilindik gercel sayilar diziliminde her iki irrasyonel sayi arasinda rasyonel sayi var (ve tam tersi). Eger gercel sayilari iyi siralarsak bu ozellik devam eder mi? Yani devam etmeyecegi iyi bir siralama var mı?

Comments

Gerçel sayıların bir tane iyi sıralaması yok. Bir iyi sıralamadan pek çok başka iyi sıralamalar elde edilebilir. Tek bir tane iyi sıralama varmış gibi düşünmemek gerek. Böyle bir iyi sıralaması var mıdır diye sormak gerekir bence.

Answer 1

Böyle bir sıralama var mıdır? Vardır (Konuyu bilen birisi kontrol etsin yanıtımı)

İrrasyonel elemanlar kümesini seçme aksiyomunu kullanarak iyi sıralayalım. Rasyonel sayıları da sayılabilir olmanın verdiği muhteşemlikle tamsayılarla indeksleyerek iyi sıralayalım. Şimdi irrasyonellerin ilk elemanını al (iyi sıralı olduğu için böyle bir eleman var) sonra rasyonellerin ilk elemanını koy. Böyle devam et. Sonra da aşağıda Burak'ın ikinci yorumunu oku.

Comments

Peki elimizdeki rasyonel sayıları tüketince ne yapacağız? Bu durumda hala elimizde numaralandırılmamış irrasyonel sayılar olacak.

---

Bilmiyorum. El yordamıyla şunu diyebilirim. Rasyonel sayılar da bitmeyecek ki, sonuçta $\omega$ da limir ordinal. Asıl soru şu bence, böyle her irrasyonel sayıya ulaşacak mıyız? Ne diyorsun bu konuda Burak?

---

Sercan'ın bir yorumuna cevap olarak yazmıştım, buraya da yapıştırayım:

Gerçel sayıları iyi sıraladığımızı varsayalım. Her iyi sıralı küme bir ordinal sayıya eş yapısaldır. Dolayısıyla iyi sıralamamız bir $\alpha \geq 2^{\omega}$ ordinaline karşılık gelecek.

Öte yandan $2^{\omega}$'nın eş sonluluğu (cofinality) $\omega$'dan büyük olduğu için $2^{\omega}$ içerisinde sınırsız ve sayılabilir bir ordinal dizisi olamaz. (Ya da şöyle düşünün, sayılabilir tane sayılabilir ordinalin supremumu sayılabilir bir ordinaldir. Dolayısıyla $\omega_1$ içerisinde de böyle bir dizi olamaz.)

Bu da demektir ki, bu iyi sıralama altında rasyonel sayılara baktığınızda $\alpha$'nın $2^{\omega}$ başlangıç dilimi (initial segment) içerisinde bile rasyonel sayılar sınırsız (unbounded) olamaz. Yani öyle iki irrasyonel bulunabilir ki aralarında bir rasyonel sayı olmaz.

---

Düzenledim.                     

---

Yukarıda biraz karmaşık anlatmışım. Şöyle kısa bir argüman verilebilir öyle bir iyi sıralama olmadığına dair:

Gerçel sayıların bir $<$ iyi sıralamasını alalım ve $I$ bu iyi sıralama içerisindeki ilk $\omega_1$ elemanın oluşturduğu (iyi sıralı) küme olsun. (Yani $I$ kümesi sıralı bir küme olarak $\omega_1$'e eş yapısal.)

Sayılabilir tane sayılabilir kümenin birleşimi sayılabilir olduğu için $J=\bigcup_{q \in \mathbb{Q}, q \in I} \{p \in I: p \leq q\}$ kümesi sayılabilirdir.

Öte yandan $I$ sayılamaz olduğu için ve $J$ kümesi bir başlangıç dilimi olduğu için her $p \in J$ için $u > p$ olacak bir $u \in I$ sayısı vardır. $u$'nun ve $u$'nun iyi sıralama altındaki ardılının irrasyonel olmaları gerektiği bariz.

Answer 2

Bir adet de ben yazayim (bakalim olacak mi):

$<_i$ siralamasi $\mathbb R$ uzerinde iyi bir siralama olsun ve $a_1, a_2$ bu iyi siralamada, sirasiyla, minimal eleman ve onun ardili olsun.

Istedigimiz herhangi iki (esit olmayan) $s,t \in \mathbb R$  degerini sabitleyelim ve $a_1,a_2 \rightarrow s,t$ olacak sekilde $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$'ye olan lineer (otelenmis aslinda) fonksiyonunu olalim. Sonucta birebir ve orten bir fonksiyon, iyi silamayi goruntu uzerinde koruyacak ve bu iyi siralamada $s <_{i,f} t$ olacak. 


Eger $s,t$'yi irrasyonel secersek arasinda hic rasyonel olmaz, rasyonel secersek de aralarinda hic irrasyonel olmaz.