Question

$f:\left( -\infty ,2\right) \rightarrow \left( 0,\infty \right)$

$f(x)=x^2-4x+4$

olduğuna göre,$(f^{-1})'(1)$ nin değeri kaçtır ?

Comments

$$f(x)=x^2-4x+4$$ kuralı ile verilen $$f:(-2,\infty)\rightarrow (0,\infty)$$ fonksiyonu birebir örten bir fonksiyon olduğundan

$$f^{-1}(y)=x\Leftrightarrow f(x)=y$$

$$f^{-1}(1)=1\Leftrightarrow f(1)=1$$

olduğu açıktır. Öte yandan $$y\rightarrow 1\Leftrightarrow x=f^{-1}(y)\rightarrow 1$$ ve  $$f'(1)=-2$$  olduğundan $(f^{-1})'(1)=\lim\limits_{y\rightarrow 1}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(1)}{y-1}=\lim\limits_{y\rightarrow 1}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(1)}{f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(1))}=\lim\limits_{y\rightarrow 1}\frac{1}{\frac{f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(1))}{f^{-1}(y)-f^{-1}(1)}}$

$$=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}=\frac{1}{\lim\limits_{x\rightarrow 1}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}}=\frac{1}{f'(1)}=-\frac{1}{2}$$ olacaktır.

---

murat hocam o işlemleri tam anlayamadım :|

Answer 1

2 yol mevcut 

1.yol

Iç dis yer degiştirip bileşkeye gore turev alip denklemde dogru x i yerine yazmak

2.yol

$y=(x-2)^2$

$\sqrt{y}= |x-2|=-x+2$ (x in seçimine dikkat)

Ve  $x=-\sqrt{y} +2$   demekki $f^{-1}(x)=  - \sqrt{x}+2$ bu ifadenin turevini alirsak$[f^{-1}]^{ı}(x)$= $-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ve x icin istenen deger yerine yazilirak işlem tamamlanır

kolay gelsin

Comments

şu bileşke yöntemini sevdim ters türev sorularında..teşekkürler hocam.: )

---

Aynen, bileşke ile almayi biliyorken çok da gerekli degil ters turev formulu.( ozellikle ters turev sorularinda dijital degerler için (. )

---

aynen.terse çevir.sonra türevini al ,ketçap mayonezde olsunmu diyor insan :S

---

(; haklisin