Noktada süreklilik

Question

Reel değerli bir fonksiyonun tanım aralığındaki bir noktasında limitinin varlık koşulu ve limit tanımı düşünüldüğünde, bir nokta da sürekli olmak ne kadar anlamlıdır? Örneğin aşağıdaki gibi bir fonksiyonda noktada süreklilik incelemesinin anlamı olur mu?

$$f(x) =\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \\ \frac1q & , & x=\frac{p}{q}\neq 0, \ (p,q)=1 \\ 1997 & , & x=0 \end{array} \right.$$

şeklinde tanımlı fonksiyonun Reel eksenin tüm irrasyonel noktalarında sürekli,tüm rasyonel noktalarında süreksiz olduğunu nasıl gösteririz?

Comments

Bu haliyle irasyoneller için de süreksiz. Her irrasyonel sayının komşuluğunda bir rasyonel vardır. 

---

Mesela $x=\pi$ noktasında sürekli olup olmadığını araştırdığımızı düşünelim. $\epsilon$ sayısını $0$ ile $1$ arasında herhangi bir gerçel sayı seçtiğimizde $$\mid x-\pi\mid<\delta\rightarrow \mid f(x)-f(\pi)\mid<\epsilon$$ koşulu sağlanacak şekilde bir $\delta>0$ sayısı bulunamaz. O halde fonksiyon $x=\pi$ noktasında sürekli değildir. Benzer şekilde hangi irrasyonel sayıyı alırsak alalım Sercan beyin de ifade ettiği gibi fonksiyon $a$ irrasyonel olmak üzere $a$'da sürekli olmaz.

---

    Metok arkadaş, her halde, aşağıdaki ünlü örnekle karıştırıyor: f(x) fonksiyonu, irrasyonellerde 0 (sıfır) ve rasyonel (p/q)≠0,((p,q)=1) noktalarında da (1/q) şeklinde tanımlanmış ise, tüm irrasyonel noktalarda sürekli ve rasyonellerde süreksiz olur.

---

Muhtemelen öyle oldu.

---

Hocam bu örneği sizin Tübitak 1999 yayını "Analiz ve Cebirde İlginç Olimpiyat problemleri ve çözümleri" kitabınızın 40. sayfasından aldım. Onu inceler misiniz?

---

Evet hocam haklısınız. Soruyu düzelttim. Fakat bu fonksiyonun tüm irrasyonel noktalarda sürekli olduğunu kanıtlayabilirmisiniz. Ve tabi rasyonellerde de süreksizliğini.

Answer 1

Sizin vermiş olduğunuz örneğe ve bahsi geçen kitabımızdaki örneğe tekrar (ve dikkatlice) bakınız. Siz, fonksiyonu rasyonellerde 1 olarak tanımlıyorsunuz. Bizim örnekte ise, fonksiyonun bir rasyonel sayıdaki değeri, rasyonel sayının paydasının tersi olarak tanımlanmıştır. Çok-çok farklı şeylerdir.