Rasyonel köklerle ilgili ,genelleştirilmiş bir soru.

Question

$a_i=\{a_0,a_1,a_2,....,a_n\}\quad a_i \in \mathbb Z$   ve   $a_n\neq0 \; ,\quad a_0\neq0$ olmak üzre

$a_0x^n+a_1x^{n-1}+.....+a_n=0$  denklemi verilsin.Eğer denklemin $p/q$ rasyonel kökü varsa,
 

o zaman  $p$'nin     $a_n$'yi     ve    $q$'nun $a_0$ 'ı tam olarak bölmesi gerektiğini gösteriniz.  

Answer 1

Eger $$x^nf\left(\frac1x\right)$$ polinomunu dusunursek, istenenin simetrik bir sonuc oldugunu goruruz. $$a_0\frac{p^n}{q^n}+\cdots+a_{n-1}\frac pq+a_n=0 \Rightarrow a_0p^n=-q(a_{n-1}p^{n-1}+\cdots+a_nq^{n-1})$$ olur. Eger $p$ ve $q$tam sayilari aralarinda asal ise $q$ sayisi $a_0$ sayisini tam boler.

Comments

p , $a_n$ yi bolusunu  gostermek icin dediginiz gibi simetrik yazariz.