Sinüsü rasyonel olan bir doğal sayı var mıdır?

Question

$$``n\in\mathbb{N}\Rightarrow \sin n\notin\mathbb{Q}"$$ önermesi doğru mudur?

Comments

Puan kurundan...

---

Yokmus.. Hatta $r\in \mathbb{Q}\backslash\{0\} \Rightarrow\sin{(r)}\notin \mathbb{Q}$ imis. Bu diger trig fonksiyonlar icin de gecerliymis..

https://books.google.com/books?id=ov-IlIEo47cC&pg=PA21&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false

---

Evet Anıl radyan.

---

$n=0 \text{ rad} \Rightarrow \sin{n}=0$ :)

---

$$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$$ $$:-)$$

---

0 ı doğal sayı yerine koymuyosunuz,anlarım ama Okkes Dulgerci'nin  ifadesi için $0\in Q$ olur ve durumu bozmaz mı

---

$r\ne 0$ olarak alinmis kitapta. Buradan $\sin(\pi/6)=1/2$ oldugundan $\pi$ irrasyoneldir diyebiliriz.

---

O zaman     $n\in Q^{*}\rightarrow sin(n)\notin Q$   diye genellenebilir.

---

Zaten sinüs fonksiyonun periyodu $2 \pi$ değil mi? Dolayısıyla ilk 6 doğal sayıyı yerine koyup sonucun rasyonel olup olmadığına bakabiliriz. 

---

Cagan, evet bakabiliriz. Fakat bu bize sonucu verir mi?

---

Once ben de Cagan gibi dusundum ama sonra gordum ki iki farkli rasyonel sayinin sinusu  hicbir zaman esit olmuyor, bunun icin butun rasyonel sayilara bakmak gerekli. yada genel ispat yapmak gerekli ki verdigim link bunu yapior..

---

Rasyonel kısmı için tabii ki, tek tek bakamayız. 

@Sercan, neden vermez?

---

Hayir anlamadin. $\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}$ oldugundan, iki farkli rasyonel sayinin sinusu  hicbir zaman esit olmuyorsa, iki farkli dogal sayinin sinusu de hicbir zaman esit olmaz..Yani sinus fonksiyonu rasyonel sayilara gore periyodik degil..

---

"verir" iddiasi senden olduguna gore senin cumleni ispatliyor olabilem gerekmez mi? ispatlasa bile anlayamamam dogal :)

---

Peki. 

$2\pi$ den büyük hiçbir doğal sayının ( sinüsün periyodunu göz önünde bulundurarak) $[0, 2\pi]$ aralığında bir doğal sayıya denk gelmediğini kanıtlamamız gerek önce. Ama şunu biliyoruz : $\pi$ ile bir sıfırdan büyük bir doğal sayının çarpımı doğal sayı olamaz. 

Dolayısıyla $2\pi$ ile bir sıfırdan büyük bir doğal sayının çarpımı da doğal sayı olamaz.

Dolayısıyla, $2\pi$ de büyük bir $n$ doğal sayısı için, $k$ verilen eşitsizliği sağlayan bir pozitif tamsayıyken $n - 2k\pi \in [0, 2\pi] $ sayısı da doğal sayı olamaz.

Demek ki $2\pi$ den büyük doğal sayılara bakmamıza bile gerek yokmuş. İlk 6 doğal sayıya bakıp yukarıdaki önermenin doğru olduğu kanıtlanabilir.

---

Fakat araliga dusururken yeni gelenler dogal sayi olmuyor ki? Onlara da bakmamiz gerekmeyecek mi?

Tabii ki $[0,2\pi)$ durumuna getirip inceleme yapilabilir.

Burada $\mod 2\pi$ olararak dusundugunuzde herhangi $a\ne b$ sayisi icin $2\pi \not \mid (a-b)$ olacagindan (burada bolme $2\pi$'nin bir tam kati ise ...) Tum $n\mod 2\pi$'ler bu aralikta farkli gercel sayilara tekabul eder.

---

Evet haklisin, yaptigin sey butun dogal sayilari kaydirmak (shifting) ve gondermek (mapping) yaparak $[0,2\pi]$ arasina sikistirmak ve dogal olarak, sinus fonksiyonu rasyonel sayilara gore periyoik olmadigindan, oyle bir rasyonel sayi yok..

Peki sin(1), sin(2), sin(3), sin(4), sin(5), sin(6) degerlerinin irrasyonel oldugunu gostermek cok kolay olmasa gerek.. acilar derece iken bir nebze kolaymis..

http://www.intmath.com/blog/mathematics/how-do-you-find-exact-values-for-the-sine-of-all-angles-6212

exact-values-sin-degrees.pdf (0,3 MB)

Download the PDF: exact-values-sin-degrees.pdf

---

Oooo, evet, boyle bakinca da guzel soru.

---

@Cağan. Tamam ama bunu söyleyip "tamam soru bitmiştir" diyip durmana gerek yok. Sıradaki soru $\sin(7-2\pi)$ rasyonel midir? $\sin(8-2\pi)$ rasyonel midir? Asıl soru bu. Ve dediğin gibi sinüs $2\pi$-periyodik olduğu için bu soru ile $\sin 7$, $\sin 8$ rasyonel midir ile aynı. 

Ben senin yorumunu hiç anlamadım galiba 

Dün gece rüyama girdi bu soru.

---

ilgilenenler bu link'e de bakabilirler. (wiki - pi irasyonel)