Fermat'ın iki kare toplamı için vermiş olduğu teoremi hatırlayalım ;
$p$ tek asallar olmak üzere , $x$ ve $y$ tamsayılar olsun. $p=x^2 +y^2 $ yazılabilmesi için gerek ve yeter koşul $ p \equiv 1(mod4)$ olmasıdır. Ayrıca şunu biliyorız ki $(x^2+y^2)(a^2+b^2)=[(xb-ya)^2] [(xa+yb)^2] $ özdeşliğini yazabiliriz. Bu özdeşliğe bağlı olarak $4k+1$ biçiminde bir bileşik sayı iki kare toplamı biçiminde yazılabilen iki farklı sayının çarpımı olarak yazılabilir Dikkat edelim ki $x$ ve $y$ tamsayılarının birisi tek diğeri çift olmalı tamsayı olmalı, (Fermat'ın ifadesinde) $x=2v$ ve $y=2m+1$ yazalım , Herhangi bir $N=4r+1$ biçiminde ki bileşik sayısı için
$N=(4v^2)+(4m^2+4m+1)$
ifadesini elde ederiz ki , şimdi bu eşitliğin sağ tarafında ikinci parantez içinde ki ifade $4k+1$ formatındadır , dolayısıyla tekrar şu şekilde ayırabiliriz bir çift tamsayının karesi ve bir tek tam sayının karesi toplamı biçiminde ayıralım buradan ifadeyi tekrar şu biçimde yazabiliriz ;
$N=(4v^2)+[(4s^2)+(2c+1)^2]$
Herhangi bir $n$ tamsayı olmak üzere $2n+1$ tamsayısına bakalım , bunu şöyle yazalım;
$\begin{align*}2n+1&=\frac{(4n+2)}{2} = \frac{(4n+1)+1}{2}\\&=\frac{4v^2+4s^2+(2c+1)^2 }{2} +\frac{1}{2}\\&= 2v^2 +2s^2+c^2+c^2+2c+1\\&=2v^2+2s^2+c^2+ (c+1)^2\\&=(v-s)^2+(v+s)^2+c^2+(c+1)^2\end{align*}$
böylece her tek tamsayı problemde istenildiği form da yazılabilir