Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
131 kez görüntülendi
''Her tek tam sayının , toplananlardan ikisi ardışık tam sayıların karesi olmak üzere dört karenin toplamı olarak yazılabileceğini gösteriniz.''
Akademik Matematik kategorisinde (252 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 131 kez görüntülendi
Her Tek Tam sayı için , dört kare toplamı temsillerinde   toplananlardan tam olarak ikisinin aynı olduğu durumu kanıtladım
Hardy nin sayılar kuramı kitabında var pdf si nette var.
Merhaba Yusuf  sayfaları rica edeceğim yazabilir misin
Represantation of number by two or four squares 20. bölüm 6. basım

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Fermat'ın iki kare toplamı için vermiş olduğu teoremi hatırlayalım ;

$p$ tek asallar olmak üzere , $x$ ve $y$ tamsayılar olsun.   $p=x^2 +y^2 $ yazılabilmesi için gerek ve yeter koşul  $ p \equiv 1(mod4)$  olmasıdır. Ayrıca şunu biliyorız ki  $(x^2+y^2)(a^2+b^2)=[(xb-ya)^2] [(xa+yb)^2] $ özdeşliğini yazabiliriz. Bu özdeşliğe bağlı olarak $4k+1$ biçiminde bir bileşik sayı iki kare toplamı biçiminde yazılabilen iki farklı sayının çarpımı olarak yazılabilir  Dikkat edelim ki $x$ ve $y$ tamsayılarının birisi tek diğeri çift olmalı  tamsayı olmalı, (Fermat'ın ifadesinde)   $x=2v$ ve $y=2m+1$ yazalım , Herhangi bir  $N=4r+1$ biçiminde ki  bileşik sayısı için

                                                                                   $N=(4v^2)+(4m^2+4m+1)$

ifadesini elde ederiz ki , şimdi bu eşitliğin sağ tarafında ikinci parantez içinde ki ifade $4k+1$ formatındadır , dolayısıyla tekrar şu şekilde ayırabiliriz bir çift tamsayının karesi  ve bir tek tam sayının karesi toplamı biçiminde ayıralım buradan ifadeyi tekrar şu biçimde  yazabiliriz ;

                                                                                  $N=(4v^2)+[(4s^2)+(2c+1)^2]$

Herhangi bir  $n$ tamsayı olmak üzere $2n+1$ tamsayısına bakalım , bunu şöyle yazalım;

                                 $2n+1=\frac{(4n+2)}{2} = \frac{(4n+1)+1}{2}=\frac{(4v^2)+(4s^2)+(2c+1)^2 }{2} +\frac{1}{2}= 2v^2 +2s^2+c^2+c^2+2c+1=2v^2+2s^2+c^2+.....+(c+1)^2=(v-s)^2+(v+s)^2+c^2+(c+1)^2$

böylece her tek tamsayı problemde istenildiği form da yazılabilir
(252 puan) tarafından 
Güzel olmuş.

Not: alttan 3. satırda  ..... olmamalı değil mi?
19,393 soru
21,149 cevap
70,809 yorum
25,201 kullanıcı