Lagrange 4 kare Toplamı ; Tek tam sayı temsili ve ardışık iki terim

Question

''Her tek tam sayının , toplananlardan ikisi ardışık tam sayıların karesi olmak üzere dört karenin toplamı olarak yazılabileceğini gösteriniz.''

Comments

Her Tek Tam sayı için , dört kare toplamı temsillerinde   toplananlardan tam olarak ikisinin aynı olduğu durumu kanıtladım

---

Hardy nin sayılar kuramı kitabında var pdf si nette var.

---

Merhaba Yusuf  sayfaları rica edeceğim yazabilir misin

---

Represantation of number by two or four squares 20. bölüm 6. basım

Answer 1

Fermat'ın iki kare toplamı için vermiş olduğu teoremi hatırlayalım ;

$p$ tek asallar olmak üzere , $x$ ve $y$ tamsayılar olsun.   $p=x^2 +y^2$ yazılabilmesi için gerek ve yeter koşul  $p \equiv 1(mod4)$  olmasıdır. Ayrıca şunu biliyorız ki  $(x^2+y^2)(a^2+b^2)=[(xb-ya)^2] [(xa+yb)^2]$ özdeşliğini yazabiliriz. Bu özdeşliğe bağlı olarak $4k+1$ biçiminde bir bileşik sayı iki kare toplamı biçiminde yazılabilen iki farklı sayının çarpımı olarak yazılabilir  Dikkat edelim ki $x$ ve $y$ tamsayılarının birisi tek diğeri çift olmalı  tamsayı olmalı, (Fermat'ın ifadesinde)   $x=2v$ ve $y=2m+1$ yazalım , Herhangi bir  $N=4r+1$ biçiminde ki  bileşik sayısı için

                                                                                   $N=(4v^2)+(4m^2+4m+1)$

ifadesini elde ederiz ki , şimdi bu eşitliğin sağ tarafında ikinci parantez içinde ki ifade $4k+1$ formatındadır , dolayısıyla tekrar şu şekilde ayırabiliriz bir çift tamsayının karesi  ve bir tek tam sayının karesi toplamı biçiminde ayıralım buradan ifadeyi tekrar şu biçimde  yazabiliriz ;

                                                                                  $N=(4v^2)+[(4s^2)+(2c+1)^2]$

Herhangi bir  $n$ tamsayı olmak üzere $2n+1$ tamsayısına bakalım , bunu şöyle yazalım;

                                 $\begin{align*}2n+1&=\frac{(4n+2)}{2} = \frac{(4n+1)+1}{2}\\&=\frac{4v^2+4s^2+(2c+1)^2 }{2} +\frac{1}{2}\\&= 2v^2 +2s^2+c^2+c^2+2c+1\\&=2v^2+2s^2+c^2+ (c+1)^2\\&=(v-s)^2+(v+s)^2+c^2+(c+1)^2\end{align*}$

böylece her tek tamsayı problemde istenildiği form da yazılabilir

Comments

Güzel olmuş.

Not: alttan 3. satırda  ..... olmamalı değil mi?

---

hocam evet sanırım yazarken dikkatimden kaçmış , düzenleme getireceğim teşekkür ederim

---

Son kısımdaki eşitliği biraz düzenledim.

NOT: 4. satırda

$(x^2+y^2)(a^2+b^2)=[(xb-ya)^2] [(xa+yb)^2]$

yerine

$(x^2+y^2)(a^2+b^2)=(xb-ya)^2+(xa+yb)^2$ olması gerekmez mi?

---

Herhangi bir  $N=4r+1$ biçiminde ki  bileşik sayısı için $$N=(4v^2)+[(4s^2)+(2c+1)^2]$$ elde ederiz ki ....

Bu önermenin doğru olabilmesi için $N$ sayısının $4r+1$ formunda olması yetmeyecektir. Mesela, $21$ sayısı bu formda olmasına rağmen, asal bölenleri $3$ ve $7$ olduğundan iki tamkare toplamı olarak ifade edilemez.

Neyse ki, bundan bir sonraki önerme olan $N=4r+1$ biçimindeki bir sayının üç tamkare toplamı olarak $$N= (2v)^2 + (2s)^2 + (2c+1)^2$$  şeklinde yazılabildiği (Legendre'nin üç kare teoremi) ve kanıtın geri kalan kısmı doğru gözükmekte.