Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi
''Her tek tam sayının , toplananlardan ikisi ardışık tam sayıların karesi olmak üzere dört karenin toplamı olarak yazılabileceğini gösteriniz.''
Akademik Matematik kategorisinde (260 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 1.2k kez görüntülendi
Her Tek Tam sayı için , dört kare toplamı temsillerinde   toplananlardan tam olarak ikisinin aynı olduğu durumu kanıtladım
Hardy nin sayılar kuramı kitabında var pdf si nette var.
Merhaba Yusuf  sayfaları rica edeceğim yazabilir misin
Represantation of number by two or four squares 20. bölüm 6. basım

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Fermat'ın iki kare toplamı için vermiş olduğu teoremi hatırlayalım ;

$p$ tek asallar olmak üzere , $x$ ve $y$ tamsayılar olsun.   $p=x^2 +y^2 $ yazılabilmesi için gerek ve yeter koşul  $ p \equiv 1(mod4)$  olmasıdır. Ayrıca şunu biliyorız ki  $(x^2+y^2)(a^2+b^2)=[(xb-ya)^2] [(xa+yb)^2] $ özdeşliğini yazabiliriz. Bu özdeşliğe bağlı olarak $4k+1$ biçiminde bir bileşik sayı iki kare toplamı biçiminde yazılabilen iki farklı sayının çarpımı olarak yazılabilir  Dikkat edelim ki $x$ ve $y$ tamsayılarının birisi tek diğeri çift olmalı  tamsayı olmalı, (Fermat'ın ifadesinde)   $x=2v$ ve $y=2m+1$ yazalım , Herhangi bir  $N=4r+1$ biçiminde ki  bileşik sayısı için

                                                                                   $N=(4v^2)+(4m^2+4m+1)$

ifadesini elde ederiz ki , şimdi bu eşitliğin sağ tarafında ikinci parantez içinde ki ifade $4k+1$ formatındadır , dolayısıyla tekrar şu şekilde ayırabiliriz bir çift tamsayının karesi  ve bir tek tam sayının karesi toplamı biçiminde ayıralım buradan ifadeyi tekrar şu biçimde  yazabiliriz ;

                                                                                  $N=(4v^2)+[(4s^2)+(2c+1)^2]$

Herhangi bir  $n$ tamsayı olmak üzere $2n+1$ tamsayısına bakalım , bunu şöyle yazalım;

                                 $\begin{align*}2n+1&=\frac{(4n+2)}{2} = \frac{(4n+1)+1}{2}\\&=\frac{4v^2+4s^2+(2c+1)^2 }{2} +\frac{1}{2}\\&= 2v^2 +2s^2+c^2+c^2+2c+1\\&=2v^2+2s^2+c^2+ (c+1)^2\\&=(v-s)^2+(v+s)^2+c^2+(c+1)^2\end{align*}$

böylece her tek tamsayı problemde istenildiği form da yazılabilir
(260 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Güzel olmuş.

Not: alttan 3. satırda  ..... olmamalı değil mi?
hocam evet sanırım yazarken dikkatimden kaçmış , düzenleme getireceğim teşekkür ederim
Son kısımdaki eşitliği biraz düzenledim.

NOT: 4. satırda

$(x^2+y^2)(a^2+b^2)=[(xb-ya)^2] [(xa+yb)^2] $

yerine

$(x^2+y^2)(a^2+b^2)=(xb-ya)^2+(xa+yb)^2 $ olması gerekmez mi?

Herhangi bir  $N=4r+1$ biçiminde ki  bileşik sayısı için $$N=(4v^2)+[(4s^2)+(2c+1)^2]$$ elde ederiz ki ....

Bu önermenin doğru olabilmesi için $N$ sayısının $4r+1$ formunda olması yetmeyecektir. Mesela, $21$ sayısı bu formda olmasına rağmen, asal bölenleri $3$ ve $7$ olduğundan iki tamkare toplamı olarak ifade edilemez.

Neyse ki, bundan bir sonraki önerme olan $N=4r+1$ biçimindeki bir sayının üç tamkare toplamı olarak $$N= (2v)^2 + (2s)^2 + (2c+1)^2$$ şeklinde yazılabildiği (Legendre'nin üç kare teoremi) ve kanıtın geri kalan kısmı doğru gözükmekte.

20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,861 kullanıcı