Verilen dizi hangi sayıya yakınsar?

Question

Kaynak: http://courseware.cemc.uwaterloo.ca/11/assignments/64/8

$a_1=2$, 

$n  \ge 1$ için 

$a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+8)$

Bu dizi bir L sayısına yakınsar. L nin değerini bulunuz.

Comments

linke bakmadan çözmüştüm biraz baktım bu şekilde çözülmüş sanırım (tam anlayamadım linkteki şeyi), keşke farklı bir yöntem bulabilseymişim dedim.

Answer 1

$a_1=2$ ise 

$a_2=5$

$a_3=13/2$

$a_4=39/4$


yani ardışık terimler arası artış hep $1/2 kat$ azalıyor,$a_1$  ve  $a_2$ arası 3 iken sonra 3/2 sonra 3/4 .......... diye gidiyor.


yani

$a_2=2+3$

$a_3=2+3+3/2$

$a_4=2+3+3/2+3/4$

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{n\to \infty}a_n=2+\underbrace{3+3/2+3/4+........+\dfrac{3}{2^{(n-2)}}}_{3(\underbrace{1+1/2+1/4+1/8+.....}_{2})}=8}}$      olur.

Answer 2

Eger dizinin yakinsagini kabul edersek limit aldigimizda 

$$L=\frac12(L+8)$$ olur. Buradan $L=8$ gelir.

Dizinin yakinsakligini iki adim ile gosterebiliriz. 
1) Dizinin terimleri her zaman $8$ degerinden kucuktur. 
$a_1<8$ ve tumevarim adimi ile $a_{n+1}=(a_n+8)/2<(8+8)/2=8$.
2) Dizi artandir.
$a_2>a_1$ ve tumevarim adimi ile $a_{n+1}=(a_n+8)/2>(a_n+a_n)/2=a_n$.

Bu ikisi bize dizinin monoton yakinsaklik teoremi ile limit sahibi oldugunu verir. 

Comments

abı oradan nasıl  L=8 geldi?

---

Icerde $2$ degil, $8$ var.

---

Odaklanma sorunum var ,sorunun mantıgından cok senın yaptıgına odaklandım, haklısınız .Zarif çözüm ,ben ,benım sorumda şans eseri tesbit ettim, böylece bu tarz çözüm ile daha genel çözümleri analize edebiliriz.