Topolojik uzaylarda yakınsaklığın karakterizasyonu

Question

$(X,\tau)$  topolojik uzay,  $(x_n)\in X^{\mathbb{N}}$  ve  $x\in X$   olmak üzere aşağıdaki ifadeler denktir.

$a)$  $x_n \to x,$

$b)$ $(\forall U\in\mathcal{U}(x))(\exists K\in\mathbb{N})(n>K\Rightarrow x_n\in U),$

$c)$ $(\forall B\in\mathcal{B}(x))(\exists K\in\mathbb{N})(n>K\Rightarrow x_n\in B).$

 

Tanım:  $ (X,\tau)  \text { topolojik uzay }  (X_n) \in X^{\mathbb{N}}  \text{ ve } x\in X \text { olsun. }$

• $\mathcal{U}(x):=\{U|U, \ x\text{'in açık komşuluğu}\}=\{U|x\in U\in\tau\}$

• $\mathcal{N}(x):=\{N|N, \ x\text{'in komşuluğu}\}=\{N|(\exists U\in \tau)(x\in U\subseteq N)\}=\{N|(\exists U\in\mathcal{U}(x))(U\subseteq N)\}$

• $\mathcal{B}(x), \ x\text{'de yerel baz}$

• $x_n\to x:\Leftrightarrow (\forall N\in\mathcal{N}(x))(\exists K\in\mathbb{N})(n>K\Rightarrow x_n\in N).$

 

Comments

ya ben anlamadim $X_n$ bu topolojik uzayda ($(X,\tau)$) bir dizi dimi?

$X_n \to X$ ne demek ? o $X$ $x$ mi olacak ? $\mathcal{B}(x) \text{ ve } \mathcal{U}(x) $ ne ? $N$ ne kumesi ? Turkce ne demek diye sorsam ayip mi ederim?

hos olurdu aslinda

 

---

@Bilge zc, evrensel olmayan notasyonların ne anlama geldiğini belirtmelisin? Aksi takdirde sorun anlaşılmaz.

---

Evet hocam haklısınız düşünememiştim .

---

sanirim b ve c siklarinin da duzenlenmesi gerekiyor $N$ yerine U ve B yazilmayacak mi ? bir de affola ama yerel bazin tanimini sorsam x i icinde bulunduran bir baz mi demek acaba ?

---

Haklısın @eloi. Uyarın için teşekkür ederim. Ayrıca yerel baz tanımını bu linkte bulabilirsin.

Answer 1

$(a)\Rightarrow (b):$ $U\in\mathcal{U}(x)$ olsun.

$\left.\begin{array}{r}U\in\mathcal{U}(x)  \\ \\ \mathcal{U}(x)\subseteq \mathcal{N}(x) \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} U\in\mathcal{N}(x) \\ \mbox{} \\ x_n\to x\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists K\in \mathbb{N})(n>K\Rightarrow x_n\in U). \end{array}$

 

$(b)\Rightarrow (c):$ $B\in\mathcal{B}(x)$ olsun.

$\left.\begin{array}{r} B\in\mathcal{B}(x)  \\ \\ \mathcal{B}(x)\subseteq \mathcal{N}(x) \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} B\in\mathcal{N}(x)\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(U\subseteq B) \\ \mbox{} \\ (b)\end{array}\right\}\Rightarrow \end{array}$

$\Rightarrow (\exists K\in \mathbb{N})(n>K\Rightarrow x_n\in U\subseteq B)$

$\Rightarrow (\exists K\in \mathbb{N})(n>K\Rightarrow x_n\in B).$

 

$(c)\Rightarrow (a):$ $N\in\mathcal{N}(x)$ olsun.

$\left.\begin{array}{r} N\in\mathcal{N}(x)  \\ \\ \mathcal{B}(x), \ x\text{'de yerel baz} \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} (\exists B\in\mathcal{B}(x))(B\subseteq N) \\ \mbox{} \\ (c)\end{array}\right\}\Rightarrow \end{array}$

$\Rightarrow (\exists K\in \mathbb{N})(n>K\Rightarrow x_n\in B\subseteq N)$

$\Rightarrow (\exists K\in \mathbb{N})(n>K\Rightarrow x_n\in N).$