Reel sayılar kümesi $τ_\infty$'a göre kompakt (tıkız) mıdır?

Question

$(\mathbb R,τ_\infty)$  topolojik uzayı kompakt(tıkız) mıdır?

standart topolojiye göre kompakt olmadığını öğrendim ama bunu nasıl gösteririm bilemedim

Comments

$T_\infty$ topolojisi nasıl tanımlanıyor?

---

{(a,∞) , a € R}

---

Her açık örtünün sonlu bir altörtüsü olması gerekiyor kompaktlık için. Aklına ilk gelen açık örtü büyük ihtimalle karşı örnek verecek. 

Bu uzayın bir açık örtüsünü söyleyebilir misin?

---

Şunu gösterebilir misin?

Bir açık kümeler kümesi almak $\{-\infty\}\cup \mathbb{R}$ kümesinden bir altküme seçmekle aynı şeydir.

not: bu biraz daha dolaylı ama bu da yardımcı olabilir diye düşünüyorum.

Answer 1

$$\mathcal{A}=\{(-n,\infty)|n\in\mathbb{N}\}$$ ailesi

$$\mathcal{A}\subseteq\tau_{\infty} \,\,\,\,\ \text{ ve } \,\,\,\,\ \bigcup\mathcal{A}=\mathbb{R}$$ olduğundan

$$(\mathbb{R},\tau_{\infty})$$ topolojik uzayının bir açık örtüsüdür fakat bu açık örtünün sonlu bir altörtüsü yoktur. Dolayısıyla söz konusu topolojik uzay tıkız değildir.