İrtibatlı topolojik uzaylar

Question

 $T_u$ üst limit topolojisi o. ü. $(\mathbb{ R}, T_u)$ topolojik uzayı irtibatlı mıdır?

cevabınızı kanıtlayınız

Comments

irtibat nedir? baglanti anladigim kadariyla?

---

Evet bağlantı olarak geçiyor çoğu yerde

---

irtibat kelimesini ik defa duydum, yani cok Turkce matematik bilgim pek yok ama, genelde irtibat da kullaniliyor mu peki?

---

Hocamız öyle kullanıyor ama kütüphanedeki kitaplarda hiç birinde böyle geçmediğini fark ettim ben de

Answer 1

İpucu: 

$U=(-\infty ,0]$ ve $V=(0,\infty)$ olsun.

$$U,V\in\tau_u\setminus\{\emptyset\} \,\ \text{ ve } \,\ U\cap V=\emptyset \,\ \text{ ve } \,\ U\cup V=\mathbb{R}$$ olduğuna göre $$(\mathbb{R},\tau_u)$$ topolojik uzayı $\ldots$

Comments

yani reel sayılar kümesi standart topolojiye göre irtibatlı-bağlantılı değilken üst limiti topolojisine göre itibatsız-bağlantısız olmuş oluyor öyle mi? Çünkü standart topolojide her aralık irtibatlıdır diye bir teorem vardı diye hatırlıyorum

Bir de $V∈τ_u$ nasıl oluyor (a,b] formunda olmadığı için takıldım ona

Ayrıca U'∩V=∅ oluyor ama U∩V'=∅ olmuyor. 

---

$$\mathcal{B}=\left\{(a,b]\big{|}a,b\in\mathbb{R}\right\}$$ ailesi, $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi üzerindeki bir topoloji için bazdır. Bu topolojiye üst limit topolojisi denir. Dolayısıyla üst limit topolojisinin elemanları $$(a,b]$$ şeklindeki kümelerin birleşimi şeklinde yazılabilen kümelerdir. Öte yandan $$(0,\infty)=\bigcup\left\{(0,n]\big{|}n\in\mathbb{N}\right\}$$ olduğundan $$(0,\infty)\in\tau_u$$ olur.