$1+2+3+4+5+6+....+n+...=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n=-\dfrac{1}{12}$ nasıl mümkün olabiliyor?

Question

Birşey sormak istiyorum 1den sonsuza kadar ardışık giden bir serinin toplamı -1/12 olur diye bir rivayet var .

Şurda da https://youtu.be/w-I6XTVZXww isptı var , Fakat bir türlu kafama yatmadı , BUnu üst düzey açıklayabilecek bir hocamız varsa teşekkur ederim 

Sonsuz olması geekirken neden bir negaf sayı

Comments

Bir de $1+2+4+8+\cdots+2^n+\cdots=\frac1{1-2}=-1$  var.

(http://matkafasi.com/2174/%241-2-2-2-cdots-2-n-cdots%24-toplami-neye-esittir de varmış)

---

Aynen öle , birşeylervar ama .....

---

bu bunu nasıl tanımladıgına baglı, mesela linkte,


$S_1=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1.......$   diyor ama bu yakınsak değildir.Limiti yoktur vs.

---

neden tanımlı değil? çünki

$S_1=0=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1.......$   ise  en baştaki +1 i sola atalım


$S_1-1=-1=-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1.......$, demekki


$1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1.......$  serisi hem $0$ hem $-1$ 'e eşit olabiliyor dolayısıyla belirsizdir.

---

Kavrayamadm hocam , Biraz daha aıklayabilirmisiniz?

---

http://matkafasi.com/4265/dogal-sayilarin-toplami bu soruya bakabilirsiniz.

---

cevabı şey ettim.

---

Dünya'da yaşayan bir varlık olan insanın, yani bizim sezgilerimize göre bu toplamın, sonsuzluk algımızdan dolayı sonsuza gitmesi gerektiğini düşünmemiz gayet normal. Fakat unutmayalım ki, fizik kurallarının farklı olduğu bir gezegende yaşayan bir uzaylının sezgilerine göre bizim ıraksak dediğimiz bu toplam yakınsak olabilir. Ayrıca bu toplam sicim kuramında bazı boyutlarla ilgili hesaplamalarda kilit rol oynuyor.

Answer 1

Tüm olay "definition" yani tanıma bağlı.

$S_1=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+..............$ neden tanımsızdır? ,sol tarafta $S_1$ var ve sağ taraf öyle gözüküyorki $0$ veya sonsuz veya başka bir şey işte bunu anlayamıyoruz ,$......$ diye giden yerlerde kaç tane -1 var kaç tane +1 var? -Sonsuz tane o zaman ben sağdan ve soldan kaçtane 1 ve -1 alıp sağsa sola fırlatırsam fırlatayım sağda hep bunlardan bulunacak hem de hep sonsuz adette, 

$S_1=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+..............$   ise

$S_1+1=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+..............$ 

$S_1-1=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+..............$ 

$S_1+n=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+..............$ 

$S_1+\underbrace{1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+.....}=\underbrace{1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+......}$ 

$------------------$

$1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+.....=1/2$ eşitliğini ispatlayalım;

$A=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+.....$  ise

$A=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+.....$ ve her tarafı $-1$ ile çarpıp +1 ekleyelim

$1-A=1+(-1+1)+(-1+1)+......$ parantezleri kaldırıp tekrar yazalım

$1-A=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+....$  yani sağ taraf gene $A$ ya eşit oldu o zaman

$1-A=A$

$A=1/2$   ve yani

$1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+.....=1/2$    imiş.

bu yukarda gördüğün her şey mantıklı ve göreceli doğrudur.Dolayısıyla ortada bir mantıksızlık var.Buna da matematik câmiasında "Belirsizlik" diyorlar. Dolayısıyla böyle bir şeyi kabul edip üst seviyeye çıkma cesaretinde bulunabiliyorsak $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n=-1/12$ elbet diyebiliriz.(sanırım :) )

Nasıl?

$S_1=1-1+1-1+1-1+1-1+.......$

$S_2=1-2+3-4+5-6+7-......$

$S=1+2+3+4+5+6+7+..$

olsunlar.

$-------------$

$S_2=1-2+3-4+5-6+7-......$ 

$S_2=0+1-2+3-4+5-6+7-......$

Alt alta toplarsak

$2S_2=1-S_1$

$S_2=\frac{1}{4}$   bulunur

$S-S_2==4+8+12+....=4(1+2+3+4+5+6+.....)$  olur

$S=1+2+3+4+5+6+...$ oldugundan

$S-S_2=4S$

$S_2=-3S$

$-\dfrac{S_2}{3}=S=1+2+3+4+5+...$

$-\dfrac{1}{12}=1+2+3+4+5+6+....$      ispatlanır. $\Box$

Comments

cevaba ekleme yapıyorum.

---

Hocam saolun elinize sağlık ama hala bana -1=12 mantiksiz geliyor , Yani pozitif sayı topluyoruz sonuçta

---

herşey $S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1$ den sonra kopuyor herşey zaten mantıksız burada :) ama her şey de sezgılere uymak zorunda degıl. 

---

Mantıksız gelmesi normal. Çünkü bu eşitlik doğru değil. fotonyiyenadam burada $S_1, S_2, S$ harfleriyle bazı işlemler yapıyor. Ama bu harflerle işlem yapmadan önce bu harflerin birer sayı olduğunu bilmemiz gerekiyor. Bu harflerin birer sayı olması demek bu serilerin yakınsak olması demek.

Sıkıntı şurada: fotonyiyenadamın yazdığı seriler yakınsamıyor. Dolayısıyla o harfler birer sayı ifade etmiyor. Bu yüzden de oradaki toplama, çıkarma, bölme vs gibi işlemlerin bir anlamı yok. Dolayısıyla fotonyiyenadam'ın yaptığı şey doğru değil. 

Senin vermiş olduğun sonsuz toplam ıraksıyor. Yani toplam bir sayıya eşit değil, toplam sonsuz. Ama eğer "illa bir sayıya eşit olması gerekseydi", o zaman bu sayının $-1/12$ olması gerekirdi.

Bu toplama çok daha başka bir anlam da verebilirsin (yorumlardaki linke baktığında Riemann-Zeta fonksiyonu çıkacak karşına).