Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
Akademik Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 1.1k kez görüntülendi

4 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
Grubun eleman sayısı 2n olsun. Birim dışında 2n-1 eleman var. Bu durumda bir elemanın tersi kendine eşit yani mertebesi 2.
(69 puan) tarafından 
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Your browser does not have a PDF plugin installed.

Download the PDF: cevap.pdf

(1.5k puan) tarafından 

$G$ grubunun tersi kendisine eşit olan en az bir elemanının varlığını nereden biliyoruz acaba?

Benim vermiş olduğum cevap icin mi yazdınız anlayamadım ama, grupta en azından birim elemanın tersi kendisine eşittir.

Link olarak verdiğiniz pdf 'deki ispatta böyle bir durum var. Grubun birimi $e$ olmak üzere $A\cup\{e\}\subset G$ denilmiş ve $a\neq e$ olmak üzere $a=a^{-1}$ olacak şekilde en az bir $a\in G$ den söz edilmiş.Bunun neden daima var olduğunu sormuştum.

Şimdi yoldayım Mehmet hocam, gün içinde açıklayıcı bir cevap vereceğim. Grubun eleman sayısının çift olmasını da düşünelim.

Teşekkürler.

$G$ çift mertebeden bir grup yani; $\mid G \mid=2m$ olacak şekilde bir $m$ pozitif tamsayısı vardır.

$e\neq a\in G$ olmak üzere $\mid G \mid =2m$ olduğundan $a^{2m}=e$. Buradan $(a^{m})^2=e$ elde edilir. $b=a^m$ diyelim. $b^2=e$ ise her iki tarafın $b^{-1}$ ile işlemlenmesi sonucu $b=b^{-1}$ elde ederiz. 


Diğer soru: $\mid A\cup \{e\} \mid=\mid A\mid +1$ (çünkü $e\notin A$) olduğundan $A\cup \{e\}$ kümesi $G$'nin öz alt kümesi olur, yani eşitlik sağlanmaz. Çünkü $G$ çift mertebeden bir grup.

Güzel.Emeğine ve eline sağlık.Teşekkürler.

Rica ederim.

1 beğenilme 1 beğenilmeme
Sylow teoremine göre, grubun mertebesi 2 olan altgrupları vardır. Bu altgruplarda (aslında sadece bir tane altgrup olduğu da Sylow teoreminden çıkarılabilir) birim eleman olmayan elemanın mertebesi 2dir.
(325 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Cauchy Teoremine göre eğer sonlu bir grubun mertebesini bir asal sayı bölüyorsa, $p$ $|$ $|G|$

O halde $G$, mertebesi p olan bir altgrubu ve elemanı vardır. Burada $p=2$
(267 puan) tarafından 
19,470 soru
21,189 cevap
71,144 yorum
27,381 kullanıcı