Question

$\displaystyle\int _{0}^{\frac {\pi } {2}}\sin ^{2}\left( \sin x\right) +\cos ^{2}\left( \cos x\right) dx$

Comments

ordaki gercekten $y$ mi? 

---

Kusura bakmayın düzelttim :)

Answer 1

İntegrali ikiye bölersek, ilkinde $\sin x=y$ ikincisinde ise $\cos x=y$ dönüşümü yapılırsa, ortaya $$\int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}$$ integrali alınır. Bunun sonucu ise $$\sin^{-1}(1)-\sin^{-1}(0)=\frac{\pi}{2}$$ bulunur.

Comments

sinx=y ve cosx=y dönüşümlerini biraz daha açık yazabilir misiniz ? Teşekkürler .

---

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(\sin x)\,dx$$ ifadesinde $y=\sin x$ dönüşümü yapalım. Bu dönüşüm altında sınırlar: $0 \rightarrow 1$ olur. Yine bu dönüşümden, $$dx=\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}$$ alınır. Bunlar integralde yerine konursa, $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(\sin x)\,dx=\int_0^1 \sin^2 y\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}$$ ifadesine ulaşılır. 

Diğer terime de $y=\cos x$ dönüşümü yapılırsa, benzer şekilde, $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(\cos x)\,dx=\int_0^1 \cos^2 y\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}$$ elde edilir. 

Bu iki ifade toplanırsa, 

$$\int_0^1 \sin^2 y\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}+\int_0^1 \cos^2 y\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\arcsin 1-\arcsin 0=\frac{\pi}{2}$$ bulunur.

Böyle açabilirim.