f bire bir ve türevlenebilir bir fonksiyon. $f(-1)=-4,f(0)=-2,f(1)=0,f(3)=4$ $\displaystyle\int _{-2}^{4}\frac {1} {f'\left( f^{-1}\left( x\right) \right) }dx$?

Question

***3

Answer 1

$$x=f(f^{-1}(x))$$ esitliginden $$1=f'(f^{-1}(x))[f^{-1}(x)]'$$ olur. Yani istenen $$f^{-1}(4)-f^{-1}(-2).$$

Comments

$f$ sadece örten ise $x=f(f^{-1}(x))$ eşitliği vardır. 

$f$ sadece birebir ise $x=f^{-1}(f(x))$ eşitliği vardır.

$f$ birebir ve örten ise $x=f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))$ eşitliği vardır. Bu durumda soruda verilenler kısmında $f$ birebir değil örten denmesi gerekmez mi?

---

$x \in Im(f)$ icin, her $x$ icin degil. Ayrica turevlenebilirligi verdigi sureklilik ile $[-2,4] \subset Im(f)$.