Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
610 kez görüntülendi


Orta Öğretim Matematik kategorisinde (14 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 610 kez görüntülendi

ordaki gercekten $y$ mi? 

Kusura bakmayın düzelttim :)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

İntegrali ikiye bölersek, ilkinde $\sin x=y$ ikincisinde ise $\cos x=y$ dönüşümü yapılırsa, ortaya $$\int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}$$ integrali alınır. Bunun sonucu ise $$\sin^{-1}(1)-\sin^{-1}(0)=\frac{\pi}{2}$$ bulunur.

(1.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

sinx=y ve cosx=y dönüşümlerini biraz daha açık yazabilir misiniz ? Teşekkürler .

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(\sin x)\,dx$$ ifadesinde $y=\sin x$ dönüşümü yapalım. Bu dönüşüm altında sınırlar: $0 \rightarrow 1$ olur. Yine bu dönüşümden, $$dx=\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}$$ alınır. Bunlar integralde yerine konursa, $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(\sin x)\,dx=\int_0^1 \sin^2 y\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}$$ ifadesine ulaşılır. 

Diğer terime de $y=\cos x$ dönüşümü yapılırsa, benzer şekilde, $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(\cos x)\,dx=\int_0^1 \cos^2 y\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}$$ elde edilir. 

Bu iki ifade toplanırsa, 

$$\int_0^1 \sin^2 y\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}+\int_0^1 \cos^2 y\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\arcsin 1-\arcsin 0=\frac{\pi}{2}$$ bulunur.

Böyle açabilirim.

20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
2,007,787 kullanıcı