Question

$\displaystyle\int\frac{\sin^3 \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} \sqrt{\cos x+\cos^2 x+\cos^3 x}}dx$ integralini çözelim.

Comments

şimdi bu integral ne belirtiyor ?,bunu çözünce neyi bulmuş olucaz ?

---

http://www.integral-calculator.com/

linki işine yarayabilir.

---

Çok teşekkür ederim.

---

Derslerinde başarılar dilerim.

---

Teşekkür ederim , size de hayatta ve "ne ile uğraşıyorsanız" onun ile :)

---

fotonyiyenadam çalışmalarınızda başarılar diliyorum.

---

Suitable2015, verilen link bu integrali hesaplamadi. 

---

wolframalpha.com linki de hesaplayamadı.

Answer 1

$\displaystyle\int\dfrac{\sin^3 \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} \sqrt{\cos x+\cos^2 x+\cos^3 x}}dx=\dfrac{1}{2}.\displaystyle\int\dfrac{2.sin^2 \frac{x}{2}\;2.sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}{2cos^2\frac{x}{2} \sqrt{cos x+cos^2 x+cos^3 x}}dx$


$\boxed{\text{Kural:}\quad cosx=2cos^2\frac{x}{2}-1\;=\;1-2.sin^2\frac{x}{2}}$

$\dfrac{1}{2}.\displaystyle\int\dfrac{2.sin^2 \frac{x}{2}\;2.sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}{2cos^2\frac{x}{2} \sqrt{cos x+cos^2 x+cos^3 x}}dx=\dfrac{1}{2}.\displaystyle\int\dfrac{(1-cosx)sinx.dx}{(1+cosx)\sqrt{cos x+cos^2 x+cos^3 x}}$


$cosx=j$ dönüşümü yaparsak

$sinx.dx=-dj$  olur ve ifadeyi düzenlersek


$\dfrac{1}{2}.\displaystyle\int\dfrac{(1-cosx)sinx.dx}{(1+cosx)\sqrt{cos x+cos^2 x+cos^3 x}}=\dfrac{1}{2}.\displaystyle\int\dfrac{(1-j)(-dj)}{(1+j)\sqrt{j+j^2+j^3}}$        her tarafı $i+j$ ile çarpalım,


$\dfrac{1}{2}.\displaystyle\int\dfrac{(1-j)(-dj)}{(1+j)\sqrt{j+j^2+j^3}}=-\dfrac{1}{2}.\displaystyle\int\dfrac{1-j^2}{(1+2j+j^2)\sqrt{j+j^2+j^3}}dj$  

her tarafı $j^2$ ye bölelim ,amacımız bir forma benzetmek.



bu "forma" değil "form" olan forma .

$-\dfrac{1}{2}.\displaystyle\int\dfrac{1-j^2}{(1+2j+j^2)\sqrt{j+j^2+j^3}}dj=\dfrac{1}{2}.\displaystyle\int\dfrac{\left(1-\frac{1}{j^2}\right)}{(\frac{1}{j}+2+j)\sqrt{\frac{1}{j}+1+j}}dj$

şimdi ise,

$\boxed{\left(j+\frac{1}{j}+j\right)=u^2}$ dönüşümü uygulayalım,

$\boxed{\left(1-\dfrac{1}{j^2}\right)dj=2u.du}$  olur, ne kadar ahenkli değil mi?

$\dfrac{1}{2}.\displaystyle\int\dfrac{2u.du}{(u^2+1)\sqrt{u^2}}=arctanu+C$


$\boxed{\boxed{arctanu+C=arctan\left(\sqrt{j+\frac{1}{j}+j}\right)+C=\displaystyle \displaystyle I = \tan^{-1}\sqrt{\left(\cos x+\sec x+1\right)}+C}}$