$u=x+\sqrt{x^2+2x+3}$
$u-x=\sqrt{x^2+2x+3}$ iki tarafında karesini aldım ,
$u^2-2ux+x^2=x^2+2x-3$
$x=\frac{u^2+3}{2+2u}$ burdan $x-1=\frac{u^2+3}{2+2u}-1$=$\frac{u^2-2u+1}{2+2u}$ olur;
$dx=\frac{2u(2+2u)-2(u^2+3)}{4(1+u)^2}du$
Artık verilenleri buldum her şeyi yerine yazma zamanı ;
$ \int\frac{u^2-2u+1}{2+2u}$.$\frac{2+2u}{u^2-4u-1}.$ $\frac{u^2+2u-3}{2(1+u)^2}du$
olur ben bunları sade bir şekilde yazdım kendin denediğindede görürsün;
$ \int\frac{1}{2}$- $\frac{1}{1+u}$ +$\frac{2}{1+u^2}$-$ \frac{2u+4-4}{u^2+4u-1}$
=$\frac{u}{2}$-$ln|1+u|$-$\frac{2}{1+u}$-$ln|u^2+4u-1|$+4$ \int \frac{1}{(u+2)^2-5}$
şimdi integrali alınmamış ifadenin integralini almaya çalışacagım burda biraz tereddütlüyüm de:D
$\frac{2}{\sqrt{5}}$$ \int\frac{1}{u+2-\sqrt{5}}$ -$\frac{1}{u+2+\sqrt{5}}$
ki buda $\frac{2}{\sqrt{5}}$$ln|\frac{u+2-\sqrt{5}}{u+2+\sqrt{5}}|$ eşit toparlayalım artık durumu ;
cevap
$\frac{x+\sqrt{x^2+2x+3}}{2}$-$ln|1+x+\sqrt{x^2+2x+3}|$-$\frac{2}{1+x+\sqrt{x^2+2x+3}}$-$ln|^2+4x+\sqrt{x^2+2x+3}-1|$+$\frac{2}{\sqrt{5}}$$ln|\frac{x+\sqrt{x^2+2x+3}+2-\sqrt{5}}{x+\sqrt{x^2+2x+3}+2+\sqrt{5}}|$ +c