Question

$$\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(\frac23\right)^{k-1}$$ serisinin toplamını bulmak için neler yapabiliriz?

Comments

oran testı uygulayıp ıraksak oldugunu gorebılırız .

---

Anıl emin misin?

---

yazar yazmaz bılgılerımı kontrol etmeye başladım biraz kuşkum vardı, $lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1$ oldugundan oran testını kullanamıyoruz.Hata yaptım.

---

Limit gerçekten 1 mi çıkıyor?

---

oran testi;


$lim_{k\rightarrow \infty}\left[\dfrac{(k+1)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k}}{k.\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k-1}}\right]=lim_{k\rightarrow \infty}\left[\dfrac{\left(\dfrac{2.k}{3}\right)+\left(\dfrac{2}{3}\right)}{k}\right]=\underbrace{lim_{k\rightarrow \infty}\left[\dfrac{2}{3}\right]}_{\frac{2}{3}}+\underbrace{lim_{k\rightarrow \infty}\left[\dfrac{2}{3.k}\right]}_{0}=\boxed{\boxed{\dfrac{2}{3}}}$

hata yapmışım $2/3$ imiş dolayısıyla mutlak yakınsak bir dizi var ve soru gereği bunu hangı yontemle hesaplamamız hakkında düşünmeye konulabılırım.

Answer 1

$\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+\cdots=\frac{1}{1-x}, x\in (-1,1)$

Taraf tarafa türev alırsak

$\sum_{k=1}^\infty k x^{k-1}=1+2x+3x^2+\cdots=\frac{1}{(1-x)^2}, x\in (-1,1)$

$x=2/3$ için hesaplarsak cevap 9 olur...

Comments

güzel cevap ,teşekkürler.