Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
785 kez görüntülendi

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k!}=?$$

Lisans Matematik kategorisinde (2.7k puan) tarafından  | 785 kez görüntülendi

Lutfen neler denediginizi de ekleyiniz, Okkes hocam. Tesekkurler.

2e olabilir mi?

Soru, ahım şahım çözemeyeceginiz bir soru olmadıgından, siteye katkı için sordugunuzdan gereklı acıklamayı ve cozumu ekledım.

Evet @eynesi  cevap 2e. Eger cozumunuz farkli ise paylasabilirmisiniz?

aslında bent sayılarıyla bır şey cıkıyor tam buna cuk dıye oturan bır ara atar bırı :)

Ben yukarda bosluga konusmusum gibi olmus. Admin de onemsememis pek.

3 Cevaplar

5 beğenilme 0 beğenilmeme

1. Aşama:

$$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(k+1)^2}{k!}=1+\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k^2+2k+1  }{ k!}$$$$=$$$$1+\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k  }{ (k-1)!}+2\sum_{k=1}^\infty\dfrac{ 1 }{ (k-1)!}+\color{green}{\sum_{k=1}^\infty\dfrac{  1}{ k!}}$$$$=$$$$\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k +1-1 }{ (k-1)!}+2\sum_{k=0}^\infty\dfrac{ 1 }{ k!}+\color{green}{\sum_{k=1}^\infty\dfrac{  1}{ k!}}$$$$1+\displaystyle\sum_{k=2}^\infty\dfrac1{(k-2)!}+\sum_{k=2}^\infty\dfrac{1}{(k-1)!}+\color{green}{3\sum_{k=0}^\infty\dfrac{  1}{ k!}}$$$$=$$$$\color{red}{\boxed{\boxed{\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(k+1)^2}{k!}=5\sum_{k=0}^\infty\dfrac1{k!}}}}$$


$$-----------------------$$

2. Aşama: 

2,a:

$$2\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{k}{k!}=2\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k}{k!}=2\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{1}{(k-1)!}=2\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{k!}$$$$Yani\quad \boxed{2\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{k}{k!}=2\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{k!}}$$
$$-----------------------$$
2,b:

$$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(k+1)^2}{k!}=\color{darkblue}{\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{k^2}{k!}}+\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{2k}{k!}+\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{k!}$$$$\Longrightarrow$$$$\boxed{\boxed{\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(k+1)^2}{k!}=\color{darkblue}{\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{k^2}{k!}}+3\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{k!}}}$$ 
$$-----------------------$$
2,c:

$$\boxed{\boxed{e^x=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{x^k}{k!}\quad\to\quad e=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{k!}}}$$

$$-----------------------$$
Olduğundan;

$$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(k+1)^2}{k!}=5\sum_{k=0}^\infty\dfrac1{k!}=\color{darkblue}{\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{k^2}{k!}}+3\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{k!}$$
$$\to$$$$\color{purple}{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{k^2}{k!}=2\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{k!}=2e}}}}$$ 


(7.8k puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi
3 beğenilme 0 beğenilmeme

Daha öz bir metod:


$$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k^2}{k!}=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k(k-1)}{k!}+\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k}{k!}$$


$$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k(k-1)}{k!}=\displaystyle\sum_{k=2}^\infty\dfrac{k(k-1)}{k!}=\displaystyle\sum_{k=2}^\infty\dfrac{1}{(k-2)!}=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{k!}\tag1$$

$$Ve$$


$$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k}{k!}=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{k!}$$


$$Ve$$

$$e=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{k!}$$  Olduğundan;

$$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k^2}{k!}=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k(k-1)}{k!}+\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k}{k!}=2\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{k!}=2e$$


(7.8k puan) tarafından 

quzel bir yol..

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Ben soyle cozmustum:


$$e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$  her iki tarafin  $x$  gore iki defa turevini alirsak ve     $x=1$   dersek


$$e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k(k-1)}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^2}{k!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k}{k!}$$ 

$$e+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^2}{k!}$$   ilk terimler 0 oldugundan

$$e+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{k!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k!}$$

$$e+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k-1)!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k!}$$

$$e+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k!}$$

$$e+e=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k!}$$ 

(2.7k puan) tarafından 
19,545 soru
21,273 cevap
71,593 yorum
32,771 kullanıcı