Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
109 kez görüntülendi

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n n^2}$$ toplamını bulabilir miyiz? 

Lisans Matematik kategorisinde (10k puan) tarafından  | 109 kez görüntülendi

Benim son iki sorum, bu toplamı hesaplamak için hazırlık idi.

Ben de sizin son iki sorunuzu farklı bir çözüm sunmak için bu toplamın sonucunu sormuştum.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$|x|\leq1$ için $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2}$ olsun (Abel in makalesinde de aynı fonksiyon var)

$|x|<1$ için $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n}$ ve $xf'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$ olur.

Buradan ($f(0)=0$ olduğunu da kullanarak) , 

Her $|x|<1$ için $f(x)=-\int_0^x\frac{\ln (1-t)}t\,dt$ olduğu görülür.

Bu eşitlikten de (Abel in makalesinin sonunda görülen):

(http://matkafasi.com/124575/%24-int_0-frac12-frac-ln-1-x-x-dx%24-integralini-hesaplayiniz sorusunda da gösterilen)

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n n^2}=\textstyle f(\frac12)=\displaystyle-\int_0^{\frac12}\frac{\ln (1-t)}t\,dt=\frac{\pi^2}{12}-\frac12(\ln2)^2$ 

elde edilir.

(4.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
17,931 soru
20,603 cevap
66,011 yorum
18,625 kullanıcı