Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
6 beğenilme 0 beğenilmeme
502 kez görüntülendi
Birbirine kısmen benzeyen yukarıdaki iki serinin toplamlarının değerini sormak istiyorum 

Bunlardan ilkine Matematik kafası benzeri sayfalarda rastladım, acaba bu toplam için ne söylenebilir? Hatta daha genel halde $\left( n^{2}\right)$ yerine $k>0$ olmak üzere $\left( n^{k}\right)$ alınırsa toplam için kapalı bir form elde edilebilir mi? Muhtemelen çok zor bir soru.

Akademik Matematik kategorisinde (210 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 502 kez görüntülendi

2 Cevaplar

4 beğenilme 0 beğenilmeme

İkinici serinin toplamı için bir fikir:


$e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{z^{n}}{n!}$

eşitliğinde \[z=\cos x+i\sin x\]

($-\pi \leq x\leq \pi $) yazalım. 

Sol taraf

$e^{\cos x+i\sin x}=e^{\cos x}\left( \cos \left( \sin x\right) +i\sin \left(\sin nx\right) \right)$

ve sağ tarafı

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\cos \left( nx\right) +i\sin \left( nx\right) }{n!}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\cos \left( nx\right) }{n!}+i\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\sin \left( nx\right) }{n!}$

olarak yazıp reel ve sanal kısımları eşitlersek, ($-\pi \leq x\leq \pi $) olmak üzere

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\cos \left( nx\right) }{n!}=e^{\cos x}\cos \left(\sin x\right)$

ve

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin \left( nx\right) }{n!}=e^{\cos x}\sin \left(\sin x\right)$

elde edilir. Fourier serileri için Parseval eşitliği kullanılırsa,

$f\left( x\right) =\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left( nx\right)$ ,

($0 \leq x\leq \pi $) olmak üzere


$\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}^{2}=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }|f\left( x\right)|^{2}dx$

sağlanır. O halde

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left( n!\right) ^{2}}=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }e^{2\cos x}\sin ^{2}\left( \sin x\right) dx$

olur.

Not: Bu integralin (ve söz konusu serinin) değeri için basit bir formülün bulunabileceğini sanmıyorum.


(623 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Sonlu boyutlu ic-carpim uzaylarinda Parseval esitligi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Doğrudan cevap olmamakla birlikte, ikinci seri hakkında önemli bir şey söyleyebilirim.

İddia: $S=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n!)^2}$ sayısı irrasyoneldir.

Kanıt: Diyelim ki rasyonel olsun, bu durumda $S=\frac{p}{q}$ yazabiliriz, $q$ sayısını pozitif almakta bir sakınca yok. O halde, \begin{equation} q!(q-1)!p=(q!)^2S=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \big(\frac{q!}{n!}\big)^2=\displaystyle\sum_{n=1}^q \big(\frac{q!}{n!}\big)^2+\displaystyle\sum_{n=q+1}^\infty \big(\frac{q!}{n!}\big)^2\end{equation} ifadesinden $\displaystyle\sum_{n=q+1}^\infty \big(\frac{q!}{n!}\big)^2\in\mathbb{Z}$ olduğu sonucu çıkar. Diğer yandan, \begin{equation}0<\displaystyle\sum_{n=q+1}^\infty \big(\frac{q!}{n!}\big)^2<\frac{1}{(q+1)^2}+\frac{1}{(q+1)^2(q+2)^2}+\frac{1}{(q+1)^2(q+2)^4}+\dots\end{equation} olur ki sondaki ifade $\frac{(q+2)^2}{(q^2+4q+3)(q+1)^2}$ ifadesine eşit olduğundan, $\displaystyle\sum_{n=q+1}^\infty \big(\frac{q!}{n!}\big)^2\leq \frac{9}{32}$ sonucu çıkar. Çelişki.

(1.1k puan) tarafından 
19,699 soru
21,400 cevap
71,873 yorum
224,417 kullanıcı