Sonlu boyutlu ic-carpim uzaylarinda Parseval esitligi

Question

$V$ sonlu boyutlu bir $\mathbb{C}$-vektor uzayi, $<\cdot,\cdot>$ de $V$ uzerinde tanimli her-hangi bir ic-carpimi olsun. Bu ic-carpima gore orthonormal bir baz da $\{e_1,\cdots,e_n\}$ olsun. 

1- Herhangi bir $v$ vektorunun elimizdeki baza gore yazilisinda $e_i$ vektorunun katsayisinin $<v,e_i>$ oldugunu gosterin.

2- Bir onceki soruyu ve ic-carpimin ozelliklerini kullanarak $$<v,w>=<v,e_1>\overline{<w,e_2>}+\cdots+<v,e_n>\overline{<w,e_n>}$$esitliginin her $v,w\in V$ icin saglandigini gosteriniz. 

Buldugunuz sonucu icinde su cumlecikler bulunan bir cumle kurarak dile getirin. "Her ic-carpim, uygun bir orthonal baz, standart ic-carpim".

Comments

1) soru sonunda verilen kısmı nasıl yorumlamalıyız?(cümlecikler...)

2) yine soru sonunda verilen seriler ile sorunun alakası nedir?

Answer 1

$V$ sonlu boyutlu ($dim V=n$) iç-çarpım uzayı olsun. $\{e_1,e_2,...,e_n\}$ bu iç-çarpıma
göre orthonormal baz yani $<e_i,e_j>=\delta_{ij}$.

1) $v\in V$ için $v=a_{1}e_1+...+a_{n}e_n$ şeklinde $a_i\in \Bbb{C}$ vardır.
$<v,e_i>=<a_{1}e_1+...+a_{i}e_i+...+a_{n}e_n,e_i>=a_i<e_i,e_i>=a_i$. Böylece
$v=<v,e_1>e_1+<v,e_2>e_2+...+<v,e_n>e_n$ elde edilir.

2) Her $v,w\in V$ için $v=<v,e_1>e_1+<v,e_2>e_2+...+<v,e_n>e_n$ ve
$w=<w,e_1>e_1+<w,e_2>e_2+...+<w,e_n>e_n$ şeklinde yazabiliriz. Ayrıca $V$ bir $\Bbb{C}$-vektör uzayı (iç-çarpım) olduğundan $w$ elemanını;

$w=\overline{<e_1,w>}e_1+\overline{<e_2,w>}e_2+...+\overline{<e_n,w>}e_n$ ve

$<v,w>=\displaystyle \sum_{i,j=1}^{n}<v,e_i>\overline{<e_j,w>}<e_i,e_j>$ böylece
$<v,w>=<v,e_1>\overline{<e_1,w>}+<v,e_2>\overline{<e_2,w>}+...+<v,e_n>\overline{<e_n,w>}$ elde edilir.