Question

$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{8^i}{9^{i+1}}=?$

iyi günler. Yukarıdaki toplamın değerini nasıl hesaplayabilirim?

Answer 1

Ipucu: $\frac{1}{9} \sum\limits_{i=0}^\infty \bigg( \frac 89\bigg)^i$ toplamini hesaplamak.

Ek ipucu: geometrik seri.

Comments

sonucu $1$ olarak buldum hocam. doğru mu acaba?

işlemler şöyle:

$A=1+\frac{8}{9} + \frac{8^2}{9^2} + \ldots$

$A-1=\frac{8}{9} + \frac{8^2}{9^2} + \ldots$

$A-1=\frac{8}{9}\cdot(1+\frac{8}{9}+\frac{8^2}{9^2}+\ldots)$

$A-1=\frac{8A}{9}$

$A=9 \to \frac{1}{9}\cdot A = 1$

---

Dogrudur. $A$ sayisinin yakinsakligini kabi=ul etmis oluyoruz, ki oyle zaten! ama neden?

---

Açıkçası, yakınsaklığını sezdim. Açıklayabileceğimi sanmamakla birlikte,

Her $A_{n}$ için $A_{n} \gt A_{n+1}$

$b \gt a$

ve, $1 \gt (\frac{a}{b})^n$ ($n \in \mathbb{N}^{\gt 0}$)

---

Butun geometrik seriler yakinsaktir eger oran 1 den kucukse..

$\sum_{k=0}^{\infty}ar^k=\frac{a}{1-r}$ eger $|r|<1$

---

Evet, Yigit. Okkes'in dediğini ispatlamak gerekir senin için.