Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
543 kez görüntülendi

$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{8^i}{9^{i+1}}=?$

iyi günler. Yukarıdaki toplamın değerini nasıl hesaplayabilirim?

Lisans Matematik kategorisinde (109 puan) tarafından  | 543 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ipucu: $\frac{1}{9} \sum\limits_{i=0}^\infty \bigg( \frac 89\bigg)^i$ toplamini hesaplamak.

Ek ipucu: geometrik seri.

(25.4k puan) tarafından 

sonucu $1$ olarak buldum hocam. doğru mu acaba?

işlemler şöyle:

$A=1+\frac{8}{9} + \frac{8^2}{9^2} + \ldots$

$A-1=\frac{8}{9} + \frac{8^2}{9^2} + \ldots$

$A-1=\frac{8}{9}\cdot(1+\frac{8}{9}+\frac{8^2}{9^2}+\ldots)$

$A-1=\frac{8A}{9}$

$A=9 \to \frac{1}{9}\cdot A = 1$

Dogrudur. $A$ sayisinin yakinsakligini kabi=ul etmis oluyoruz, ki oyle zaten! ama neden?

Açıkçası, yakınsaklığını sezdim. Açıklayabileceğimi sanmamakla birlikte,

Her $A_{n}$ için $A_{n} \gt A_{n+1}$

$ b \gt a$

ve, $1 \gt (\frac{a}{b})^n$ ($n \in \mathbb{N}^{\gt 0}$)

Butun geometrik seriler yakinsaktir eger oran 1 den kucukse..


$\sum_{k=0}^{\infty}ar^k=\frac{a}{1-r}$ eger $|r|<1$

Evet, Yigit. Okkes'in dediğini ispatlamak gerekir senin için.

20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,045,097 kullanıcı