$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \textstyle(\frac{\pi}{2} - \arctan(k^2))$ serisinin karakterini belirleyin.

Question

$\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{\pi}{2} - \arctan(k^2))$ serisinin karakterini belirleyin.

Bu soruyu internette gördüm, Bakarak çözemedim. Buraya not almak istedim.

$k^2$'yi kullanarak bir şeyler elde etmeliyim gibi gözüküyor.

önce $k^2$ ile kıyaslamak istedim, limit elle tutulur bir şey gelmiyor. Daha sonra $1 /k^2$ ile kıyaslamak istedim. Sanırsam oradan da bir şey elde edemedim

Answer 1

Burada bu ve bezerlerinin çözümü var: http://emseyi.com/675

 

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplam $p$-toplamları ile ilişkili olmasa da fonksiyonsal türevi ilişkilidir. Bu nedenle fonksiyonsal türevi bu türev ile denk olacak bir $p$-toplam bulmamız gerekli. Bu toplamın teriminin, türev aldığında, $1/n^2$ olması gerektiğini görebiliriz.

Limit alma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek $$\begin{align*}\lim_{n\to \infty}\dfrac{\dfrac{\pi}{2}-\arctan(n^2)}{\dfrac{1}{n^2}} \ &= \ \lim_{x\to \infty}\dfrac{\dfrac{\pi}{2}-\arctan(x^2)}{\dfrac{1}{x^2}}  \qquad{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)} \ \ (0/0)}} \\[15pt] &\stackrel{l'H}{=} \ \lim_{x\to \infty}\dfrac{-2x\cdot \dfrac{1}{1+(x^2)^2}}{-2x^{-3}}\\[15pt] &= \ \displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^4}{x^4+1}\\[15pt] &= \ \displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{1}{1+x^{-4}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{1+0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*}$$ eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2>1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı  $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan(n^2)\right)$$ toplamı yakınsak olur.

 

Comments

Anahtar nokta:
Buradaki $n^{-2}$ seçimi türevin $n^{-3}$ ile ilişkili olması.