$\lim_{x\to \infty} f(x)= L$ iken $\sum_{n=1}^{\infty}(L-f(n))$ toplamı yakınsak mıdır?

Question

$f$, pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı (ve pozitif değerli), türevlenebilir ve artan bir fonksiyon olsun. $$\lim_{x\to \infty}f(x) = L$$ pozitif bir gerçel sayı iken $$\sum_{n=1}^{\infty}(L-f(n))$$ sonsuz toplamı yakınsak mıdır?

Örneğin, $x>0$ değerlerinde tanımlanan $f(x)=\arctan(x^2)$ fonksiyonu için bunun doğru olduğu gösterilmişti.

Comments

Ters örneğini bilmesem gayet inandırıcı.

---

Yanlış anlamıyorsam $f(x)=1-\dfrac 1x$ gibi birçok örnek bulabilirim dimi?

---

Aynen (aynen).

---

Keşke yorumlara $+$ oy verilebilse. Şu örnek için kesin kullanırdım

---

@Ozgur hocam tebrikler, örneğiniz problemin ana kısmını çözüyor. (Sadece $x>0$ iken $f(x)>0$ koşulunu sağlamıyor. $f(1/2)=-1$ ama bu önemsiz.) Cevap olarak yazarsanız sitede daha şık duracaktır.

(@Sercan hocama da ayrıca teşekkürler.)

---

$f(x)=1-{1\over x+1}$ olsun.

---

Bence açıklayarak Elif Şule Kerem yazsın (benimkini değil de Doğan hocanınkini) cevabı, sonra hepimiz onun cevabına + oy verelim.

Bu arada Doğan Hocam size özel mesaj gönderilemiyor sanıyorum, buradan yazayım cevabımı: estağfurullah :)

---

Sen örneği zaten bulmuştun Ozgur, ben, sadece, lokman gökçe nin ek koşulunu da sağlaması için küçük bir ekleme yaptım.

---

@Ozgur hocam, lütfen cevabınızı gönderiniz ve hepimiz + oy vereceğiz. Kamuoyu sizi bekliyor :))

Answer 1

$\arctan x$ için doğru değil. ( http://emseyi.com/677/ )

Temel olarak birbirine yakın olacağı ve sanki her zaman $1/n^2$ gibi bir sayıdan küçük olacağı akla gelebilir. Burada iki kere $n$ atamak bir soruna yol açar. Bir $m$ değeri vardır ki her $N>m$ için terimler $1/n^2$den küçük olur. Buradaki $m$ değeri $n^2$ ya da $n^3$ gibi bir sayı da olabilir. Bu da bize $a_n\le 1/n^2$ değil, $a_{n^2}\le 1/n^2$ gibi bir eşitsizlik verir.