Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
575 kez görüntülendi

Kapalı bir aralıktan gerçel sayılara tanımlı sınırlı bir $f$ fonksiyonu için alt toplamların oluşturduğu kümenin supremumu, üst toplamların oluşturduğu kümenin infimumuna eşit olduğunda fonksiyona Riemann integrallenebilir denir şeklinde tanımladığımızda

$$\int_{0}^{1}x^2dx=\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2$$ olduğunu nasıl gösterebiliriz? 

Lisans Matematik kategorisinde (190 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 575 kez görüntülendi

Belirli integral için Riemann toplamı tanımını kullanabilirsiniz.

http://matkafasi.com/23509/#a24561 de ayni soru var. Bu (koşullar sağlandığında) standart bir teoremdir. (Soruda hala yazım hatalari var) 

Yazım hatalarını düzelttim. Ayrıca vermiş olduğunuz linkte bu sorunun genel hali sorulmuş ancak cevaplanmamış. Sizin de orada belirttiğiniz gibi o linkteki soruda $f$ Riemann anlamında integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere diye başlamalıydı soru.

Alt toplamların supremumu, üst toplamların infimumuna eşit ise

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$A =  \inf\{U(f,P)\} =  \sup\{L(f,P)\}$, $P_n=\{0,\frac1n,\frac2n,\ldots,1\}$ olsun. (${f(x)=x^2}$ için) $U(f,P_n)=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left( \frac  kn\right) ^{2} $ ve $L(f,P_n)=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left( \frac   {k-1}{n}\right) ^{2}=\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\left( \frac   kn\right) ^{2} $ olur. $\lim_{n\to\infty}U(f,P_n)=A$ olduğunu göstermek istiyoruz.

$U(f,P_n)\geq A \geq L(f,P_n) $ (neden?) ve $0\leq U(f,P_n)- L(f,P_n)\leq\frac1n $ (neden?) olur.

$\varepsilon>0$ verilsin. $N\in\mathbb{N},\ \frac1N<\varepsilon$ olacak şekilde seçelim.

Her $n\geq N$ için $|U(f,P_n)-A|<\varepsilon$ olur (neden?). 

(6.1k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,205 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,804 kullanıcı