Cebirsel bir genişleme arasında kalan tamlık bölgesi bir cisimdir.

Question

Bir $E$ cismi ve bu cismin cebirsel (algebraic) bir $F$ cisim genişlemesini alalım. $D$ tamlık bölgesi (integral domain) de bu iki cismin arasında kalsın: \begin{equation} E\subset D\subset F \end{equation} Bu durumda $D$ aslında bir cisimdir. Buradaki cebirsel genişleme şartı önemli, örneğin \begin{equation} \mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}[X]\subset \mathbb{Q}(X) \end{equation} için $\mathbb{Q[X]}$ bir cisim değildir.

Comments

İki şey arasında kalınmaz mı? Bir genişleme arasında kalmak ne demek?

---

Başlık kısmını çok teknik terimlerle doldurmak istemedim hocam, gerekli açıklama sorunun içeriğinde mevcut. Nitekim cevap da vermişsiniz :)

Answer 1

Motivasyon 1: $\alpha \in F$ ile genisletirsek. Minimal polinomu $xf(x)+1=0$ seklinde olsun (ters monik hali). O zaman $\frac 1\alpha=f(\alpha) \in D$.

Motivasyon 2: $0 \neq \alpha \in D$ elemaninin minimal polinomuna $p(x)$ dersek, indirgenemez olacagindan kendisinin kati olmayan her polinomla en buyuk ortak boleni $1$ olacak. Yani her $(u(x),p(x))=1$ icin $a(x),b(x) \in E[x]$ var ki $$a(x)u(x)+b(x)p(x)=1.$$ Eger $x=\alpha$ koyarsak yukaridaki denkleme: $a(\alpha)=\frac 1{u({\alpha})}$ olur. Ters elemanimizi elde etmis oluruz.

Ek olarak da: Eger $p|u$ ise $u(\alpha)=0$ olacagindan, bu durum icin ters eleman aramamiz manasiz olur.

Ispat:  $0 \neq d \in D$ ($d$ cebirsel ve minimal polinomu var ) ise ...(yukaridaki islemler) .. $d^{-1} \in D$ olur.

Answer 2

$\alpha$ elemanı $F$ cismi üzerine cebirsel bir elemansa $$F[\alpha]=F(\alpha)$$ olur. Diyelim ki $x\in D$. O halde $x$ elemanı $F$ üzerine cebirsel olur çünkü $E$ cisminin bir elemanı. Yani $$F(x)=F[x]\subseteq D.$$

Answer 3

Sercan Hocamın çözümüne benzer bir çözüm de şöyle:

$D$'den $0$'dan farklı bir $\alpha$ elemanı alalım. $\alpha\in F$ ve $F$ cismi $E$ cismi üzerinde cebirsel olduğundan bir $p(X)=c_0+c_1X+\dots+c_nX^n\in E[X]$ polinomu için $p(\alpha)=0$ yani \begin{equation} c_0+c_1\alpha+\dots+c_n\alpha^n=0\end{equation} olur. $c_0\neq 0$ olduğunu varsayabiliriz. Bu durumda, \begin{equation} \alpha(-\frac{c_1}{c_0}-\dots-\frac{c_n}{c_0}\alpha^{n-1})=1\end{equation} olur. Kolayca görülebilir ki \begin{equation} -\frac{c_1}{c_0}-\dots-\frac{c_n}{c_0}\alpha^{n-1}\in D\end{equation} O halde $D$'deki $0$'dan farklı her elemanın $D$ içinde tersi var, yani $D$ bir cisim.