Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
398 kez görüntülendi

Bir $E$ cismi ve bu cismin cebirsel (algebraic) bir $F$ cisim genişlemesini alalım. $D$ tamlık bölgesi (integral domain) de bu iki cismin arasında kalsın: \begin{equation} E\subset D\subset F \end{equation} Bu durumda $D$ aslında bir cisimdir. Buradaki cebirsel genişleme şartı önemli, örneğin \begin{equation} \mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}[X]\subset \mathbb{Q}(X) \end{equation} için $\mathbb{Q[X]}$ bir cisim değildir.

Akademik Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 398 kez görüntülendi

İki şey arasında kalınmaz mı? Bir genişleme arasında kalmak ne demek?

Başlık kısmını çok teknik terimlerle doldurmak istemedim hocam, gerekli açıklama sorunun içeriğinde mevcut. Nitekim cevap da vermişsiniz :)

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Motivasyon 1: $\alpha \in F$ ile genisletirsek. Minimal polinomu $xf(x)+1=0$ seklinde olsun (ters monik hali). O zaman $\frac 1\alpha=f(\alpha) \in D$.

Motivasyon 2: $0 \neq \alpha \in D$ elemaninin minimal polinomuna $p(x)$ dersek, indirgenemez olacagindan kendisinin kati olmayan her polinomla en buyuk ortak boleni $1$ olacak. Yani her $(u(x),p(x))=1$ icin $a(x),b(x) \in E[x]$ var ki $$a(x)u(x)+b(x)p(x)=1.$$ Eger $x=\alpha$ koyarsak yukaridaki denkleme: $a(\alpha)=\frac 1{u({\alpha})}$ olur. Ters elemanimizi elde etmis oluruz.

Ek olarak da: Eger $p|u$ ise $u(\alpha)=0$ olacagindan, bu durum icin ters eleman aramamiz manasiz olur.

Ispat:  $0 \neq d \in D$ ($d$ cebirsel ve minimal polinomu var ) ise ...(yukaridaki islemler) .. $d^{-1} \in D$ olur.

(24.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Sonlu cebirsel genislemeler basittir
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\alpha$ elemanı $F$ cismi üzerine cebirsel bir elemansa $$F[\alpha]=F(\alpha)$$ olur. Diyelim ki $x\in D$. O halde $x$ elemanı $F$ üzerine cebirsel olur çünkü $E$ cisminin bir elemanı. Yani $$F(x)=F[x]\subseteq D.$$

(3.7k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Sercan Hocamın çözümüne benzer bir çözüm de şöyle:

$D$'den $0$'dan farklı bir $\alpha$ elemanı alalım. $\alpha\in F$ ve $F$ cismi $E$ cismi üzerinde cebirsel olduğundan bir $p(X)=c_0+c_1X+\dots+c_nX^n\in E[X]$ polinomu için $p(\alpha)=0$ yani \begin{equation} c_0+c_1\alpha+\dots+c_n\alpha^n=0\end{equation} olur. $c_0\neq 0$ olduğunu varsayabiliriz. Bu durumda, \begin{equation} \alpha(-\frac{c_1}{c_0}-\dots-\frac{c_n}{c_0}\alpha^{n-1})=1\end{equation} olur. Kolayca görülebilir ki \begin{equation} -\frac{c_1}{c_0}-\dots-\frac{c_n}{c_0}\alpha^{n-1}\in D\end{equation} O halde $D$'deki $0$'dan farklı her elemanın $D$ içinde tersi var, yani $D$ bir cisim.

(1.1k puan) tarafından 
19,469 soru
21,189 cevap
71,144 yorum
27,381 kullanıcı