Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
422 kez görüntülendi

$K \subset \mathbb C$ bir cisim olsun. $a,b \in \mathbb C$ sayilari $K$ uzerinde cebirsel olsun. O halde (gosteriniz) $K$ uzerinde oyle bir  cebirsel $c \in \mathbb C$ vardir ki $$K(a,b)=K(c)$$ olur. 

Lisans Matematik kategorisinde (25.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 422 kez görüntülendi

Sorunun adı yanlış olmuş. Her cebirsel genişleme basit değil.

onu cok dusundum de, basligi da uzatmasam mi dedim, baslik onerin var mi? 

Sonlu cebirsel genişlemeler basittir.


Bu en genel hali değil ama en azından doğru. Bir de zaten soru sonlu sorulmuş. O yüzden bence cuk oturur.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$a$'nın minimal polinomu $p$, $b$'nin minimal polinomu $q$ olsun. Öyle bir $\lambda$ elemanı bulacağız ki $$K(a+\lambda b)=K(a,b)$$ sağlansın. Bu $\lambda$'yı nasıl seçeceğimiz birazdan belli olacak. $c=a+\lambda b$ olarak tanımlayalım. Her durumda $$K(c)\subset K(a,b)$$ olduğu belli.

Şimdi $r(x)=p(c-\lambda x)\in (K(c))[x]$ şeklinde tanımlanan polinom için, $$r(b)=p(c-\lambda b)=p(a)=0$$ eşitliği sağlanır, bu da demek ki $b$ elemanı, $r$ polinomunun bir kökü. Diğer yandan $b$ elemanının $q$ polinomunun kökü olduğunu biliyoruz. O zaman $\lambda$ elemanını öyle bir seçelim ki $b$ elemanı, $r$ ve $q$ polinomlarının tek ortak kökü olsun (buna gerçekten hakkımız var mı?). Bu durumda $$\text{obeb}(r(x),q(x))=k(x-b)$$ olur, buradaki $k$ sayısı sıfırdan farklı bir katsayı. O halde $k(x-b)\in (K(c))[x]$  ifadesini elde ederiz ki bu da $k,kb\in K(c)$, yani $b\in K(c)$ demek. Son olarak $c=a+\lambda b\in K(c)$ ifadesini kullanarak $a\in K(c)$ olduğunu da söyleyebiliriz. Yani $$K(a,b)\subset K(c)$$ sağlanır.

(1.1k puan) tarafından 
20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,056,192 kullanıcı