1. $f(x)=x^2-2 $ polinomu $ \mathbb{Q} $ üzerindeki parçalanma cismi
bunun için $f(x)$ polinomunun köklerini buluyoruz $\sqrt{2}$ ve $-$$\sqrt{2}$ diyoruz ve bunun $\mathbb{Q} $ üzerindeki parçalanma cismine $\mathbb{Q}(\sqrt{2} , -\sqrt{2} ) = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ diyebildiğimizi farkettim. Bunun nedeninin $\mathbb{Q}(\sqrt{2} , -\sqrt{2} ) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $ve $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2} , -\sqrt{2} ) $ oldugunu gördüm.
$\sqrt{2},-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ bunda hemde $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ bunda.
Şimdi asıl
2.olarak şöyle birşey düşünebilir miyim?
mesela $g(x)=x^4-2$ polinomu için yine $\mathbb{Q}$ üzerinde
kökleri $\sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}$
a) $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2})$ veya
b) $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ olarak diyebilir miyim ?
a ve b arasında nasıl bir fark var veya fark yok mu?
3. ve son olarak parcalanma cismi değilde ;
$[\mathbb{Q}(i\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}(i)]$ genişlemedeki derece?
ben söyle düşündüm bunuda
$[\mathbb{Q}(i\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}(i)]=deg(Irr(i\sqrt[4]{2},\mathbb{Q}(i))=deg(x-i\sqrt[4]{2})=1$ olarak düşündüm.
$\mathbb{Q}(i)$ cismindeki elemanlar $a+bi$ şeklinde olmalı dedim ama sonra bu durumda a ve b $\in\mathbb{Q}$ da nasıl olsun diye düşündüm. Acaba herhangibir şeyi ters düşünüyor olabilir miyim?