Bazı parcalanma cisimleri yazılışları ve cisim genişleme dereceleriyle ilgili 3 tane soru

Question

1.  $f(x)=x^2-2$ polinomu $\mathbb{Q}$ üzerindeki parçalanma cismi

bunun için $f(x)$ polinomunun köklerini buluyoruz $\sqrt{2}$ ve $-$$\sqrt{2}$ diyoruz ve bunun $\mathbb{Q}$ üzerindeki parçalanma cismine $\mathbb{Q}(\sqrt{2} , -\sqrt{2} ) = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ diyebildiğimizi farkettim. Bunun nedeninin $\mathbb{Q}(\sqrt{2} , -\sqrt{2} ) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ve $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2} , -\sqrt{2} )$ oldugunu gördüm.

$\sqrt{2},-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ bunda hemde $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ bunda.

Şimdi asıl

2.olarak şöyle birşey düşünebilir miyim?

mesela $g(x)=x^4-2$ polinomu için yine $\mathbb{Q}$ üzerinde

kökleri $\sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}$ 

a) $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2})$ veya

b) $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ olarak diyebilir miyim ?

a ve b arasında nasıl bir fark var veya fark yok mu?

3. ve son olarak parcalanma cismi değilde ;

$[\mathbb{Q}(i\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}(i)]$ genişlemedeki derece?

ben söyle düşündüm bunuda

$[\mathbb{Q}(i\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}(i)]=deg(Irr(i\sqrt[4]{2},\mathbb{Q}(i))=deg(x-i\sqrt[4]{2})=1$ olarak düşündüm. 

$\mathbb{Q}(i)$ cismindeki elemanlar $a+bi$ şeklinde olmalı dedim ama sonra bu durumda a ve b $\in\mathbb{Q}$ da nasıl olsun diye düşündüm. Acaba herhangibir şeyi ters düşünüyor olabilir miyim?

Comments

2. için şöyle birşey düşündüm.

$i\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}\in \mathbb{Q}$ oldugundan $Irr(i\sqrt[4]{2},\mathbb{Q})=Irr(-i\sqrt[4]{2},\mathbb{Q})$ ve

$\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2}\in \mathbb{Q}$ oldugundan $Irr(\sqrt[4]{2},\mathbb{Q})=Irr(-\sqrt[4]{2},\mathbb{Q})$  ve

$\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2}\in\mathbb{Q}$ olup $Irr(\sqrt[4]{2},\mathbb{Q})=Irr(i\sqrt[4]{2},\mathbb{Q})$ olur.Diye düşündüm.

Böylece parçalanma cismini sadece $\mathbb{Q(\sqrt[4]{2})}$ veya $\mathbb{Q(i\sqrt[4]{2})}$ olarak almak daha dogru mu acaba diyede düşündürdü. Ama hala $i$ aklıma takılan bir soru?