Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
987 kez görüntülendi

Merkez bankasının $t$ zamanda piyasaya sürdüğü para $y(t)$ ve $k$ sabit olmak üzere, paradaki değişim 

$y'(t)=\frac{y^2}{kt^3}$

$y(1)=\frac{k}{3}$

başlangıç değer problemi ile modellenmektedir.

Buna göre $\displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t)$ değeri kaçtır?

Lisans Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 987 kez görüntülendi

Soruyla ilgili hiçbir şey yapamadım. $y(t)=y$ diye tanımlamamış, direkt fonksiyon olan $y$ olsa öyle bir gösterim ben görmedim daha önce, tabiki ben görmedim diye olmadığı anlamı çıkmaz ama :)

Bernoulli Denklemi yontemini kullandin mi? Differansiyel denklemler... (bi link)

Hocam hiçbir şey yapamadım. Pek anlamadım soruyu. Şu kalan sorularımı yazayım linke bakıyorum hocam.

Okudum ama pek bir şey anlamadım maalesef hocam.

Oradaki $p(t)=0$ ve $q(t)=\frac{1}{kt^3}$.

Ben bu soruyu lisans kategorisine alsam yerinde olacak sanırım hocam.

Evet.                 

Thomas'ta buldum sanırım anlatıldığı yeri. Belki ondan anlarım, bakalım.

Hocam zahmet olmazsa Bernoulli'den çözümünü yazabilir misiniz? Merak ettim.

Bi ara doneyim, donmezsem sen bana hatirlat tekrar.

Teşekkürler hocam.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$y'(t)=\frac{y^2}{kt^3}\Rightarrow \frac{y'(t)}{y^2}=\frac{1}{kt^3} $ ifadesini integre edersek $\displaystyle \int \frac{y'(t)}{y^2}dt=\int\frac{1}{kt^3}dt\Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{2kt^2}+c$ buluruz. $y(1)=\frac{k}{3}$ olduğundan $ \frac{3}{k}=\frac{1}{2k}+c\Rightarrow c=\frac{5}{2k}$ buluruz. İfadeyi düzenlersek $\frac{1}{y}=\frac{1}{2kt^2}+\frac{5}{2k}\Rightarrow y(t)=\frac{2kt^2}{5t^2+1}$ buluruz. O halde $\displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t)=\lim_{t \to \infty} \frac{2kt^2}{5t^2+1}=\frac{2k}{5}$ olmalıdır.

(2.9k puan) tarafından 

Bernouli'ye gitmeye gerek yokmus. Ilk integralden $-1/y+c$ geliyor galiba.

Ben de hocaya sordum. O da "Bunlar lisans sen niye uğraşıyorsun ki bunlara?" diyecek diye korktum ama Allah'tan ortaöğretimde çözümü varmış :) 

Sen boyle sorular sorunca ortaogretim gibi bakmiyorum.  Diyorum ki, kesin yine bi kacak elektrikle ilgilidir.

$y'+p(x)y=q(x)$ problemini cozebiliyor musun?

Şimdilik hayır. Ama sanırım bunu öğrenirsem LC devresiyle ilgili sorumu çözebileceğim. 

20,248 soru
21,774 cevap
73,422 yorum
2,152,267 kullanıcı