Topoloji

Question

(X,$\tau$) topolojik uzay olmak üzere "(A$\subset$X)((X,$\tau$) ayrılabilir uzay) $\Rightarrow$ (A,${\tau}_A$) ayrılabilir uzay" önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.

Comments

Siz neler yaptiniz, kanitlamak icin? Neresinde takildiniz?

---

Önerme yanlış aksine örnek bulmalıyım. ($\mathbb{R}$,$\upsilon$)  alışılmış uzayında $\mathbb{R}$ nin öyle bir alt kümesini bulun ki (A,${\upsilon}_A$) alışılmış uzay olmasın.

Answer 1

İpucu: $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayı ayrılabilir uzaydır. (Neden?) Bu uzayın altkümesi olarak irrasyonel sayılar kümesini ele al. $(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\mathcal{U}_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}})$ altuzayını düşün. Bu bir. İkincisi gerçel sayılar kümesi üzerinde $\tau=\{U|0\in U\}\cup\{\emptyset\}$ topolojisini ele al. $(\mathbb{R},\tau)$ ayrılabilir uzaydır. (Neden?) Bu uzayın $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ altuzayını düşün.

Comments

Bunu bir karşı örnek olarak mı yazdınız emin değilim ama bu örnek ilgili önerme için bir karşı örnek değil. Metriklenebilir ayrılabilir uzayların alt uzayları da ayrılabilirdir. Dolayısıyla bu bir karşı örnek olamaz.

---

Haklısınız. Uyarınız için teşekkür ederim.