Question

$\star\star$       $ln(1-x)$ 'i       $\forall x$     $ \in[-1,1)\quad$ için  kuvvet serisi şeklinde ifade ediniz.

Comments

$x=-1$ dahil olmalı...

---

haklısınız.      

---

Ortada seri yok ki, nereden dahil olmasi gerektigini anliyoruz:)

---

amaç o zaten:D bu $ln(1-x)$  i kuvvet serısı olarak hangı teknıklerle modelleyebılırız (x yukarıdakı aralık dahılınde)

---

ilk basta aralik bu degildi, ondan bahsetmistim.

---

doğrudur hocam.haklısınız

Answer 1

İpucu: $$y=\ln (1-x)\Rightarrow y'=\frac{-1}{1-x}\Rightarrow y'=-(1+x+x^2+x^3+\ldots)$$

$$\Rightarrow$$

$$y'=-\sum_{n=0}^{\infty}x^n \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ (-1\leq x<1)$$

Answer 2

Murad Hocamızın ipucunu tamamlarsak;


$y=ln(1-x)$ idi    $(-1,1)$ aralığı için türev alırsak


$y'=\dfrac{-1}{1-x}$

bu bir şeylere benziyor

http://matkafasi.com/69068/arasindaki-herhangi-sayinin-sonsuza-serisi-formulunun-ispati?show=69068#q69068

Dolayısıyla

$-y'=1+x+x^2+x^3+........+x^n+....$ hertarafın türevini alırsak x'e göre

$-y=x+x^2/2+x^3/3+.......+x^{n+1}/(n+1)$ olur dolayısıyla


$y=ln(1-x)=-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{x^k}{k}$ gelir  $x=-1$    ve   $x=1$ için denersek $x=-1$ için de sağlanacagından 

$\boxed{\boxed{y=ln(1-x)=-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{x^k}{k}}}$ $\longrightarrow[-1,1)$ için deriz.