Birinci soruya yanıt: Örneğin, üç boyutlu Platonik cisimlerin dört boyutlu karşılıkları: (dörtyüzlü->) 5-hücre, (sekizyüzlü->)16-hücre, (küp->)8-hücre, (onikiyüzlü->)120-hücre, (yirmiyüzlü->)600-hücre ve 24-hücre $C_{24}$(bu fazladan); beş boyutlu karşılıkları: (dörtyüzlü->)üstdörtyüzlü, (küp->)üstküp, (sekizyüzlü->)üstsekizyüzlü.
Tanım(dışbükey, ingl. convex ): $A\subset \mathbb{R}^n$ kümesine; eğer her sahip olduğu iki nokta için onların bağlantı doğru parçasını içerirse dışbükey denir. Yani: $x,y\in A \Rightarrow [x,y]\subset A$.
Tanım(dışbükey bileşim): $x_1,...,x_n\in\mathbb{R}^n$ olsun. O zaman $\forall i\{1,...,m\}:\lambda_i\geq 0$ ve $\lambda_1+...+\lambda_m=1$'i sağlayan her $\lambda_1 x_1+...+\lambda_m x_m$ terimine dışbükey bileşim denir.
Tanım(dışbükey bürümü/geren kümesi ing. convex span): $A\subset \mathbb{R}^n$. $A$'nın dışbükey bürümü; $A$'da -dışbükey bileşim olarak yazılabilen- noktalar kümesidir.
$dışb(A)=\{\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_m x_m\in A \vert x_1,...,x_m\in A, \lambda_1,...,\lambda_1\geq 0, \displaystyle\sum_{i=0}^m \lambda_i=1,m\in\mathbb{N}\}$
Tanım(dışbükey politop): Sonlu bir nokta kümesinin dışbükey bürümüne dışbükey politopu denir.
Örnekler: $e_1,e_2,e_3,e_4$ $\mathbb{R}^4$'ün standart/Hamel taban vektörleri olsunlar. Şimdi yukardakileri şöyle tanımlayabiliriz(iki tanesini yazıyorum diğerlerinin köşenoktaları Vikipedi'de var):
$C_{5}:=dışb\{\frac{e_1}{\sqrt{10}}+\frac{e_2}{\sqrt{6}}+\frac{e_3}{\sqrt{3}}+e_4,\frac{e_1}{\sqrt{10}}+\frac{e_2}{\sqrt{6}}+\frac{e_3}{\sqrt{3}}-e_4,\frac{e_1}{\sqrt{10}}-\sqrt{\frac{3}{2}}e_2,-2\sqrt{\frac{2}{5}}e_1\}$
$C_{24}:=dışb\{\frac{e_i+e_j}{\sqrt{2}},\frac{e_i-e_j}{\sqrt{2}},\frac{-e_i-e_j}{\sqrt{2}}\vert 1\leq i,j\leq 4, i\neq j\}$
İkinci soruya sorumsu yanıt: Bu ikisinin noktalarının içinde bulunduğu kümeleri -içi boş/içi dolu kare $\tilde{K},K$ diye adlandırılsın- tanımlayabilirmisin? (Örn. hiperbol, elips ve parabolün kompleks düzlemdeki tanımları burada var, sen karenin gerçelinden bahsediyorsun sanırım:)) Karenin üstündeki noktalar veya onlarla düzlemdeki nesneler arasında ne gibi bağıntılar var?
Not: Boyut kabaca bir nesnedeki noktayı belirtmek için gereken koordinat sayısı. Ama biçimsel olarak bir kümenin boyutu yok -bildiğim kadarıyla- bir vektör uzayının var. Boyut deyince çoğunlukla Hamel boyutu anlaşılıyor.
Üçüncü soruya yanıtımsı yorum: Fizikte iki boyutlu zaman için https://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_time_dimensions adresine bakılabilir.Maalesef çok boyutlu zaman içeren teoriler popüler değil, 2 boyutlu zamanla uğraşan bir (rakamla 1) fizikçi var, adı Itzhak Bars: http://arxiv.org/abs/hep-th/0008164