Vikipedi'deki "Platonik Cisim" Basligiyla ilgili

6 beğenilme 0 beğenilmeme
252 kez görüntülendi

"Platonik cisimbeş katı cisim veya düzgün katı cisim, bütün kenarları eşit ve yüzeyleri düzgün çokgen olan katı cisimdir.

Şimdiye kadar bilinen düzgün katılar 5 tanedir:"

diye basliyor https://tr.wikipedia.org/wiki/Platonik_cisim adresindeki makale (Funky2000'nin uyarisiyla: Bu bir makale degil, bir makale taslagi.). Simdiye kadar bilinen duzgun katilar (Platonik Cisimler) 5 tanedir. Dogru. Ama bu cumle sanki "Su ana kadar 5 tane bulduk, arayisimiz devam ediyor." gibi bir anlama sahip. Oysa ki biz en az bir 2300-2400 yildir cok daha fazlasini biliyoruz. Bunlardan sadece 5 tane vardir. Daha baskasini elde edemezsiniz. Bu nedenledir ki Platon dogadaki elementleri (hava, toprak, ates, su, tahta (tahta tabii)) bu cisimlerle ozdeslestirmistir (ve daha bircok baska neden). Bu sorunun amaci bunu kanitlamak. 

Soru 0. Platonik cismin tanimini bildiginizden emin olun. Hangi platonik cismin kac tane koseye, kac tane kenara, kac tane yuze sahip oldugunu not edin. Her bir platonik cisim icin, bir kosesinde kac tane kenarin bulustugunu ve her bir yuzdeki kenar sayisini gozlemleyin.

Soru 1. Elinize bir kagit kalem alip su deneyi yapin: Kagit uzerinde birkac nokta ($v$ tane) isaretleyin. Bu noktalardan bazilarini, aralarina bir kenar cizerek birlestirin. Toplam kenar sayisina $e$ diyelim. Cizdiginiz resim gicik bir resim olmasin. Yani, cizgeniz bagintili olsun ve kenarlar birbirinin uzerinden gecmesin. Bagintili olmak su demek: Iki tane nokta (kose) aldiginizda, bir noktadan digerine kenarlar uzerinden gecerek gidilebilsin. Cizdiginiz resimde bazi kapali bolgeler olusabilir, ornegin bir ucgen cizdiyseniz ucgenin ici bir kapali alan olusturur. Bu kapali bolgelere yuz diyecegiz. Ayrica cizdiginiz seklin disinda kalan buyuk (sonsuz) alani da bir yuz olarak kabul edecegiz. Yani, ucgen dedigimizde iki tane yuz olmus olacak. Toplam olusan yuz sayisina da $f$ diyelim. En az bir 5-10 tane degisik sekil cizerek bu $v$, $e$ ve $f$ degerlerini not edin. Ve $v-e+f$ degerini hesaplayin. Sonucun her seferinde 2 cikmasi gerektigini gozlemleyin. Bunun bir tesaduf olmadigina kendinizi inandirin.

Soru 2. Yukaridaki deneyi duzlem yerine kure uzerinde yapinca sonucun degismeyecegini gozlemleyin.

Soru 3. Elimizde bir Platonik cisim $P$ olsun. Bu Platonik cismin $v$ tane kosesi, $e$ tane kenari ve $f$ tane yuzu olsun, her kosesinde $m$ tane kenar bulussun ve her bir yuzu duzgun $n$-gen olsun. Su esitlikleri gosterin: $$nf = 2e \qquad , \qquad mv = 2e$$

Soru 4. Platonik cismimizi balon gibi sisirip koselerini, kenarlarini ve yuzlerini bir kure uzerinde gorelim. Soru 2'yi ve Soru 5'i kullanarak sunu gosterin: $$ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e}$$ 

Soru 5. En az bir tane kenar olmasi gerektiginden, sunu biliyoruz: $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} > \frac{1}{2}$$ Ayrica, bir duzgun $n$-genden bahsedebilmemiz icin en az 3 kosesinin olmasi lazim. Ayrica, Platonik cismin her kosesinde en az 3 tane kenarin bulusmasi lazim. Bu durumda, $n, m \geq 3$ varsayimini yapmamiz lazim. Bu varsayimla birlikte yukaridaki esitsizligin butun cozumlerini bulun.

Soru 6. Buldugunuz cozumleri, bildiginiz platonik cisimlerle eslestirin. Ve kanitin bittigini gozlemleyin.

Soru 7. Bu noktadan sonra birkac ekstra soru soralim. Kenar sayisinin sonsuz oldugunu dusunursek, $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2}$ esitligini elde ediyoruz. Bu esitligini cozumleri nelerdir? Neye karsilik gelirler?

Soru 8. Peki $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} < \frac{1}{2}$ durumu?

21, Eylül, 2015 Ö-Lisans Matematik kategorisinde Ozgur (2,038 puan) tarafından  soruldu
13, Aralık, 2016 Sercan tarafından yeniden kategorilendirildi

Konuyu çok iyi bilmemekle beraber, bahsi geçen Türkçe sayfa şu an sadece bir taslak olup İngilizce sayfa olan https://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid linkinde "şu ana kadar" gibi bir ifade bulunmamaktadır.


    4. Regular polygons of six or more sides have only angles of 120° or more, so the common face must be the triangle, square, or pentagon. For these different shapes of faces the following holds:
  1. Triangular faces: Each vertex of a regular triangle is 60°, so a shape may have 3, 4, or 5 triangles meeting at a vertex; these are the tetrahedron, octahedron, and icosahedron respectively.
  2. Square faces: Each vertex of a square is 90°, so there is only one arrangement possible with three faces at a vertex, the cube.
  3. Pentagonal faces: Each vertex is 108°; again, only one arrangement, of three faces at a vertex is possible, the dodecahedron.
Altogether this makes 5 possible Platonic solids.

Biliyorum. O yuzden Vikipedi dedim Wikipedia degil.

Belki soruyu cozen biri taslagi degistirebilir :)

Bu konuları lisans veya lisansüstü yapan birileri çözerse, Wikipedia'da başlığı düzenlesin. :)

Lisans veya lisansustune gerek yok yahu. Bu soru en azindan son iki, hatta bir soruya kadar liseliler tarafindan da cozulebilecek bir soru.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu soruyu "100" puan karşılığında ödüllü soru ilan ediyorum.

Istek: Cevabin acik ve detayli bir sekilde yazilmasi.

13, Aralık, 2016 Sercan (22,720 puan) tarafından  cevaplandı

$100$ puan hesabınızdan düşüldü.Uygulamayı kullandığınız için teşekkürler.

...